Чтобы найти скалярное произведение по координатам, перемножьте координаты, стоящие на одинаковых местах, и сложите результаты. Затем сравните сумму с нулём: для ненулевых векторов нулевая сумма означает перпендикулярность.
Ниже — два разбора и шесть задач для самостоятельной работы. Во всех восьми заданиях координаты заданы в ортонормированном базисе: его оси взаимно перпендикулярны, а единичные отрезки на них одинаковы.
Что означают записи
Буквы a и b обозначают векторы, числа в скобках — их координаты. Запись a · b означает скалярное произведение; его результат — число, а не новый вектор.
Для двух координат правило выглядит так: если a = (a₁, a₂), а b = (b₁, b₂), то a · b = a₁b₁ + a₂b₂. Для трёх координат добавляется произведение a₃b₃. Это правило и признак перпендикулярности ненулевых векторов приведены в учебнике OpenStax.
Удобный порядок решения:
- Выпишите произведение для каждой пары координат.
- Вычислите каждое произведение с его знаком.
- Сложите полученные числа.
- Если сумма равна нулю, запишите, что ненулевые векторы перпендикулярны. Если не равна — не перпендикулярны.
Разбор 1. Сумма не равна нулю
Даны векторы a = (2, 3), b = (4, -1). Найдите скалярное произведение и определите, перпендикулярны ли ненулевые векторы.
Умножаем первые координаты между собой, затем вторые:
a · b = 2 × 4 + 3 × (-1) = 8 — 3 = 5.
Получилось 5, а не 0. Значит, векторы не перпендикулярны. Ответ состоит из двух частей: скалярное произведение равно 5; прямого угла между векторами нет.
Разбор 2. Сумма равна нулю
Даны векторы a = (3, -2), b = (2, 3). Найдите скалярное произведение и определите, перпендикулярны ли ненулевые векторы.
Записываем вычисление по тому же правилу:
a · b = 3 × 2 + (-2) × 3 = 6 — 6 = 0.
Сумма равна нулю, а векторы ненулевые. Поэтому они перпендикулярны. Ответ: скалярное произведение равно 0; векторы перпендикулярны.
На что обратить внимание при вычислении
Частая ошибка — потерять минус при умножении. Например, во втором разборе произведение (-2) × 3 равно -6, а не 6. Из-за неверного знака сумма получится другой и вывод об угле тоже будет ошибочным.
Чтобы этого избежать, отрицательные координаты можно сначала заключить в скобки. Не переходите сразу от исходных координат к ответу: промежуточная строка с отдельными произведениями поможет найти ошибку.
Шесть задач для самостоятельной работы
В каждой задаче найдите скалярное произведение данных векторов и определите, перпендикулярны ли ненулевые векторы. Сначала запишите оба ответа, затем сверьтесь с ключом.
- a = (1, 2, 3), b = (4, 0, -2).
- a = (-2, 5), b = (3, 1).
- a = (4, 0), b = (-3, 2).
- a = (2, 1, -1), b = (1, 0, 2).
- a = (-1, -3), b = (2, 4).
- a = (3, 4), b = (4, -3).
Ответы и проверка
1. a · b = 1 × 4 + 2 × 0 + 3 × (-2) = 4 + 0 — 6 = -2. Сумма не равна нулю, поэтому векторы не перпендикулярны.
2. a · b = (-2) × 3 + 5 × 1 = -6 + 5 = -1. Сумма не равна нулю; векторы не перпендикулярны.
3. a · b = 4 × (-3) + 0 × 2 = -12 + 0 = -12. Сумма не равна нулю; векторы не перпендикулярны.
4. a · b = 2 × 1 + 1 × 0 + (-1) × 2 = 2 + 0 — 2 = 0. Векторы ненулевые, значит, они перпендикулярны.
5. a · b = (-1) × 2 + (-3) × 4 = -2 — 12 = -14. Сумма не равна нулю; векторы не перпендикулярны.
6. a · b = 3 × 4 + 4 × (-3) = 12 — 12 = 0. Векторы ненулевые, значит, они перпендикулярны.
Если ответ не совпал, проверьте по порядку: все ли пары координат учтены, верно ли определён знак каждого произведения и правильно ли сложены результаты. После этого отдельно проверьте вывод: он зависит от равенства суммы нулю, а не от того, положительная она или отрицательная.
Если школьнику трудно выделить данные и вопрос до начала вычислений, поможет статья «Ребёнок не понимает условие задачи: как помочь разобраться».