Чтобы найти сумму внутренних углов правильного выпуклого многоугольника, вычтите 2 из числа его сторон и умножьте результат на 180°. Чтобы найти один угол, разделите сумму на число сторон.
Ниже — два подробных разбора и шесть задач для самостоятельной работы. Во всех восьми заданиях нужно найти и сумму, и один внутренний угол.
Формула и обозначения
Обозначим число сторон буквой n, а сумму внутренних углов — буквой S. Для выпуклого многоугольника:
S = (n − 2) · 180°.
У правильного многоугольника все внутренние углы равны, поэтому один угол равен S / n. Эти правила приведены в справочнике Maths Is Fun; задачи ниже составлены отдельно для практики.
Удобно записывать решение в одном порядке:
- Выписать n из условия.
- Подставить его в формулу суммы.
- Разделить полученную сумму на n.
- Указать оба ответа в градусах и проверить умножением.
При проверке один угол умножают на число сторон. Должна получиться найденная сумма. Это помогает заметить ошибку при делении, хотя само по себе не доказывает, что сумма вычислена верно: её тоже нужно проверить по формуле.
Разбор 1. Пять сторон
Условие. Правильный выпуклый многоугольник имеет 5 сторон. Найдите сумму внутренних углов и один внутренний угол.
Из условия n = 5. Подставим это число в формулу:
S = (5 − 2) · 180° = 3 · 180° = 540°.
Теперь разделим сумму на число равных углов:
540° / 5 = 108°.
Ответ: сумма — 540°, один угол — 108°.
Проверка: 108° · 5 = 540°. Сумма совпала с результатом первого вычисления.
Разбор 2. Шесть сторон
Условие. Правильный выпуклый многоугольник имеет 6 сторон. Найдите сумму внутренних углов и один внутренний угол.
Здесь n = 6. Сначала найдём сумму:
S = (6 − 2) · 180° = 4 · 180° = 720°.
Затем разделим её на шесть:
720° / 6 = 120°.
Ответ: сумма — 720°, один угол — 120°.
Проверка: 120° · 6 = 720°. При переходе от пяти сторон к шести сумма увеличилась на 180°: именно на столько изменился результат формулы.
Задачи для самостоятельной работы
В каждой задаче запишите два результата. Сначала найдите сумму, затем угол; не заглядывайте в ключ до окончания вычислений.
- Правильный выпуклый многоугольник имеет 8 сторон. Найдите сумму внутренних углов и один внутренний угол.
- Правильный выпуклый многоугольник имеет 10 сторон. Найдите сумму внутренних углов и один внутренний угол.
- Правильный выпуклый многоугольник имеет 12 сторон. Найдите сумму внутренних углов и один внутренний угол.
- Правильный выпуклый многоугольник имеет 15 сторон. Найдите сумму внутренних углов и один внутренний угол.
- Правильный выпуклый многоугольник имеет 18 сторон. Найдите сумму внутренних углов и один внутренний угол.
- Правильный выпуклый многоугольник имеет 20 сторон. Найдите сумму внутренних углов и один внутренний угол.
Ключ с решениями
1. Восемь сторон. S = (8 − 2) · 180° = 1080°. Один угол: 1080° / 8 = 135°. Проверка: 135° · 8 = 1080°.
2. Десять сторон. S = (10 − 2) · 180° = 1440°. Один угол: 1440° / 10 = 144°. Проверка: 144° · 10 = 1440°.
3. Двенадцать сторон. S = (12 − 2) · 180° = 1800°. Один угол: 1800° / 12 = 150°. Проверка: 150° · 12 = 1800°.
4. Пятнадцать сторон. S = (15 − 2) · 180° = 2340°. Один угол: 2340° / 15 = 156°. Проверка: 156° · 15 = 2340°.
5. Восемнадцать сторон. S = (18 − 2) · 180° = 2880°. Один угол: 2880° / 18 = 160°. Проверка: 160° · 18 = 2880°.
6. Двадцать сторон. S = (20 − 2) · 180° = 3240°. Один угол: 3240° / 20 = 162°. Проверка: 162° · 20 = 3240°.
Где легко ошибиться
Не делите сумму на n − 2. Это число используется при вычислении суммы, но равных углов у многоугольника столько же, сколько сторон: n. Например, в шестистороннем многоугольнике сумму 720° нужно разделить на 6, а не на 4.
Если ответ не совпал с ключом, проверьте отдельно вычитание в скобках, умножение на 180° и деление на число сторон. Затем умножьте найденный угол на n.
Для дальнейшей работы пригодится подготовка к ОГЭ по геометрии: чертежи, свойства и доказательства.