Чтобы решить задачу на свободное падение, определите, что известно: время, высота или скорость. Затем выберите формулу, подставьте данные в метрах и секундах и проверьте ответ другой формулой.
Во всех задачах ниже тело отпущено без толчка: начальная скорость v₀ = 0. Ось направлена вниз, g = 10 м/с², сопротивлением воздуха пренебрегаем. Время отсчитывается от момента отпускания, поэтому t ≥ 0. Высота h означает пройденное вниз расстояние.
Какие формулы понадобятся
В выбранной модели ускорение постоянно и направлено вниз. При пренебрежимо малом сопротивлении воздуха оно не зависит от массы тела. Это свойство модели и уравнения движения при оси, направленной вверх, описаны в учебнике OpenStax — образовательного проекта Университета Райса.
Когда тело отпускают без начальной скорости, за каждую секунду его скорость в модели увеличивается на g. Поэтому через t секунд:
v = gt.
Скорость растёт равномерно от нуля до v, значит, средняя скорость за это время равна v/2. Пройденное расстояние равно средней скорости, умноженной на время:
h = vt/2 = gt²/2.
Чтобы связать скорость и высоту без времени, выразим t = v/g и подставим в формулу высоты:
h = g(v/g)²/2 = v²/(2g), поэтому v² = 2gh.
| Что ищем | Формула | Единица ответа |
|---|---|---|
| Высоту по времени | h = gt²/2 | метры, м |
| Скорость по времени | v = gt | метры в секунду, м/с |
| Время по высоте | t = √(2h/g) | секунды, с |
| Скорость по высоте | v = √(2gh) | метры в секунду, м/с |
| Время по скорости | t = v/g | секунды, с |
В формулах с корнем берём неотрицательное значение: рассматриваем время после отпускания и модуль скорости. Для повторения обозначений пути, времени и скорости пригодятся задачи на движение: как найти путь, время и скорость.
Разбор: известно время
Условие. Тело отпустили без толчка. Найдите пройденное расстояние и скорость через 2 с.
Сначала найдём высоту. В формуле времени стоит квадрат, поэтому 2² = 4:
h = 10 · 2²/2 = 10 · 4/2 = 20 м.
Теперь определим скорость:
v = 10 · 2 = 20 м/с.
Проверка. По связи скорости и высоты v² = 2gh: слева 20² = 400, справа 2 · 10 · 20 = 400. Равенство выполняется.
Ответ: 20 м и 20 м/с.
Разбор: известна высота
Условие. Тело отпустили без толчка с высоты 45 м. Найдите время падения и скорость у земли.
Из h = gt²/2 получаем t² = 2h/g. Подставим высоту:
t² = 2 · 45/10 = 9.
Время не может быть отрицательным, значит, t = 3 с. Скорость в этот момент:
v = 10 · 3 = 30 м/с.
Проверка. За 3 с по формуле высоты тело проходит 10 · 3²/2 = 45 м. Кроме того, 30² = 2 · 10 · 45 = 900.
Ответ: 3 с и 30 м/с.
Шесть задач для самостоятельной работы
Для каждого условия действуют принятые в начале статьи условия: тело отпущено без толчка, g = 10 м/с², сопротивлением воздуха пренебрегаем. Сначала попробуйте решить задачу, затем сверьте подстановку и проверку.
1. Первая секунда
Условие. Найдите расстояние и скорость через 1 с после отпускания тела.
h = 10 · 1²/2 = 5 м.
v = 10 · 1 = 10 м/с.
Обратная проверка. По найденной скорости t = v/g = 10/10 = 1 с. Связь с высотой тоже выполняется: 10² = 2 · 10 · 5 = 100.
Ответ: 5 м; 10 м/с.
2. Три секунды движения
Условие. Найдите расстояние и скорость через 3 с после отпускания тела.
h = 10 · 3²/2 = 45 м.
v = 10 · 3 = 30 м/с.
Обратная проверка. По высоте t = √(2 · 45/10) = √9 = 3 с. По скорости t = 30/10 = 3 с.
Ответ: 45 м; 30 м/с.
3. Расстояние 20 метров
Условие. Тело прошло 20 м. Найдите время и скорость к этому моменту.
t = √(2 · 20/10) = √4 = 2 с.
v = 10 · 2 = 20 м/с.
Обратная проверка. Подставим время в формулу расстояния: h = 10 · 2²/2 = 20 м. По найденной скорости t = 20/10 = 2 с.
Ответ: 2 с; 20 м/с.
4. Расстояние 80 метров
Условие. Тело прошло 80 м. Найдите время и скорость к этому моменту.
t = √(2 · 80/10) = √16 = 4 с.
v = 10 · 4 = 40 м/с.
Обратная проверка. За 4 с расстояние составляет 10 · 4²/2 = 80 м. Также 40² = 1600 и 2 · 10 · 80 = 1600.
Ответ: 4 с; 40 м/с.
5. Известна скорость
Условие. Скорость тела достигла 50 м/с. Найдите время движения и пройденное расстояние.
t = v/g = 50/10 = 5 с.
h = 10 · 5²/2 = 125 м.
Обратная проверка. По найденному времени v = 10 · 5 = 50 м/с. Связь с расстоянием даёт 2 · 10 · 125 = 2500 = 50².
Ответ: 5 с; 125 м.
6. Начальный момент
Условие. Найдите пройденное расстояние и скорость в момент отпускания, когда t = 0 с.
h = 10 · 0²/2 = 0 м.
v = 10 · 0 = 0 м/с.
Обратная проверка. По скорости t = 0/10 = 0 с; равенство v² = 2gh принимает вид 0 = 0.
Ответ: 0 м; 0 м/с.
Где чаще ошибаются
Не подставляйте конечную скорость в формулу пути для равномерного движения. Например, через 2 с скорость равна 20 м/с, но тело не двигалось с такой скоростью все две секунды: оно начало с нуля. Поэтому произведение 20 · 2 = 40 м здесь завышает результат. Средняя скорость за эти две секунды равна (0 + 20)/2 = 10 м/с, и путь составляет 10 · 2 = 20 м.
Удвоение времени тоже не означает удвоения пути. За первую секунду тело проходит 5 м, а за две секунды от начала — 20 м. Время увеличилось вдвое, путь — вчетверо, потому что в формуле стоит t². Если спрашивают путь именно за вторую секунду, вычтите путь за первую из пути за две: 20 − 5 = 15 м. Ответ 20 м относится ко всему промежутку от отпускания до конца второй секунды.
Проверьте, успевает ли тело падать всё указанное время. Если в условии дана высота 45 м, по нашему разбору тело достигает земли через 3 с. Продолжать эту же формулу до 4 с и записывать 80 м как путь до земли нельзя: движение после соприкосновения с землёй исходная модель не описывает.
В формуле высоты в квадрат возводят всё время: при t = 3 с получается 3² = 9, а не 6. Множитель 2 стоит в знаменателе формулы h = gt²/2; в формуле скорости v = gt его нет.
Не смешивайте высоту со скоростью. Ответ в метрах описывает расстояние, а ответ в метрах в секунду — скорость. Если по высоте получили отрицательное время, отбросьте его: в этих задачах отсчёт начинается при t = 0.
Результаты относятся к заданной модели. В реальном движении сопротивление воздуха может быть существенным, поэтому нельзя считать приведённые значения точным описанием падения любого предмета.