Чтобы найти сторону треугольника по двум другим сторонам и углу между ними, подставьте известные значения в теорему косинусов. Формула сначала даст квадрат искомой стороны; затем нужно извлечь положительный корень.
Ниже разобраны два примера и даны шесть задач на тот же случай. Для нахождения угла формулу можно преобразовать, если известны все три стороны.
Какая сторона стоит напротив угла
Обозначим стороны треугольника буквами a, b и c, а угол между сторонами b и c — буквой A. Тогда сторона a лежит напротив этого угла. По теореме косинусов:
a² = b² + c² − 2bc cos A.
Здесь cos A — косинус угла A. Он влияет на величину вычитаемого произведения. В задачах ниже понадобятся три значения:
- cos 60° = 1/2;
- cos 90° = 0;
- cos 120° = −1/2.
Если известны три стороны и нужно найти угол A, ту же формулу преобразуют так: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc). После этого по найденному косинусу определяют угол. Важно, чтобы сторона a и здесь лежала именно напротив искомого угла.
Как читать условие с буквами вершин
В записи угла BAC средняя буква A обозначает его вершину. Стороны AB и AC выходят из точки A, поэтому угол BAC находится между ними. Против него лежит сторона BC.
Значит, для всех задач этой подборки удобно сразу записать:
BC² = AB² + AC² − 2 · AB · AC · cos BAC.
Длины даны в сантиметрах, обозначение см. Их квадраты при вычислении выражаются в см², а после извлечения корня ответ снова записывают в сантиметрах. Корень можно оставить в ответе, если условие это разрешает.
Два разобранных примера
Пример 1. Угол 90°
В треугольнике стороны AB = 3 см, AC = 4 см; угол BAC между ними равен 90°. Найдите BC. При необходимости оставьте корень.
Подставляем стороны и косинус угла:
BC² = 3² + 4² − 2 · 3 · 4 · 0 = 9 + 16 = 25.
Длина стороны положительна, поэтому BC = √25 = 5 см.
Ответ: 5 см. Проверка: 5² = 25, что совпадает с полученным квадратом стороны.
Пример 2. Угол 60°
В треугольнике стороны AB = 5 см, AC = 5 см; угол BAC между ними равен 60°. Найдите BC. При необходимости оставьте корень.
Здесь cos 60° = 1/2. Подставляем это значение, не забывая про множитель 2:
BC² = 5² + 5² − 2 · 5 · 5 · 1/2 = 25 + 25 − 25 = 25.
Берём положительный корень: BC = √25 = 5 см.
Ответ: 5 см. Проверка: квадрат ответа равен 25.
Шесть задач для самостоятельной работы
Выпишите известные стороны и угол, затем найдите квадрат BC. Только после этого извлеките корень и запишите единицу длины.
- В треугольнике стороны AB = 6 см, AC = 6 см; угол BAC между ними равен 120°. Найдите BC. При необходимости оставьте корень.
- В треугольнике стороны AB = 7 см, AC = 8 см; угол BAC между ними равен 60°. Найдите BC. При необходимости оставьте корень.
- В треугольнике стороны AB = 5 см, AC = 12 см; угол BAC между ними равен 90°. Найдите BC. При необходимости оставьте корень.
- В треугольнике стороны AB = 4 см, AC = 4 см; угол BAC между ними равен 120°. Найдите BC. При необходимости оставьте корень.
- В треугольнике стороны AB = 10 см, AC = 10 см; угол BAC между ними равен 60°. Найдите BC. При необходимости оставьте корень.
- В треугольнике стороны AB = 6 см, AC = 8 см; угол BAC между ними равен 90°. Найдите BC. При необходимости оставьте корень.
Чтобы дополнить эту практику другими темами экзамена, используйте материал «Подготовка к ОГЭ по геометрии: чертежи, свойства и доказательства».
Ответы и проверки
- √108 см. BC² = 6² + 6² − 2 · 6 · 6 · (−1/2) = 108. Квадрат ответа равен 108.
- √57 см. BC² = 7² + 8² − 2 · 7 · 8 · 1/2 = 57. Квадрат ответа равен 57.
- 13 см. BC² = 5² + 12² − 2 · 5 · 12 · 0 = 169. Проверка: 13² = 169.
- √48 см. BC² = 4² + 4² − 2 · 4 · 4 · (−1/2) = 48. Квадрат ответа равен 48.
- 10 см. BC² = 10² + 10² − 2 · 10 · 10 · 1/2 = 100. Проверка: 10² = 100.
- 10 см. BC² = 6² + 8² − 2 · 6 · 8 · 0 = 100. Проверка: 10² = 100.
Как исправить типичные ошибки
Выбрана не та сторона напротив угла. Вернитесь к записи BAC: угол расположен у вершины A, а сторона BC её не касается. Поэтому именно BC² стоит отдельно в левой части формулы.
Потерян знак при угле 120°. Его косинус отрицателен. Заключайте −1/2 в скобки: перед произведением стоит минус, поэтому в этом случае соответствующее слагаемое увеличивает сумму квадратов.
Вместо стороны записан её квадрат. Число, полученное сразу после подстановки, равно BC². Чтобы найти BC, извлеките корень; отрицательное значение не подходит для длины.
Ответ записан в квадратных сантиметрах. При промежуточном вычислении получается квадрат длины, но вопрос касается стороны. После извлечения корня её единица — сантиметр.