Если известен один угол параллелограмма, противоположный ему равен, а каждый из двух соседних вместе с ним составляет 180°. Поэтому достаточно одного вычитания, чтобы найти все остальные углы.
В задачах ниже вершины ABCD перечислены по контуру: A соседствует с B и D, а C расположен напротив A. Углы обозначены буквами вершин и измеряются в градусах. Свойства противоположных и соседних углов приведены в материале о параллелограмме.
Выберите пары углов
Для параллелограмма ABCD запишите два равенства:
- C = A — противоположные углы;
- B = D = 180° − A — углы, соседние с A.
Например, если угол A острый, оба соседних угла будут тупыми. Если A тупой, соседние будут острыми. При проверке удобно сначала сравнить противоположные пары A и C, B и D, а затем сложить любую соседнюю пару.
Знак градуса относится к величине угла: запись B = 115° означает, что угол при вершине B равен 115 градусам.
Разбор 1. Начинаем с острого угла
ABCD — параллелограмм, вершины перечислены по контуру; угол A = 65°. Найдите углы B, C, D.
- Угол C противоположен углу A, поэтому C = 65°.
- Угол B соседствует с A: B = 180° − 65° = 115°.
- Угол D тоже соседствует с A, поэтому D = 115°.
Ответ: B = 115°, C = 65°, D = 115°. Проверим: A и C равны, B и D равны; соседние углы A и B в сумме дают 180°.
Разбор 2. Записываем решение короче
ABCD — параллелограмм, вершины перечислены по контуру; угол A = 72°. Найдите углы B, C, D.
Противоположный угол C равен A, то есть C = 72°. Оба соседних угла равны 180° − 72° = 108°.
Ответ: B = 108°, C = 72°, D = 108°. Проверка: 72° + 108° = 180°, а противоположные углы совпадают.
Потренируйтесь самостоятельно
Для каждого условия найдите три неизвестных угла. Запишите отдельно, какой угол противоположен A и какое вычитание даёт соседние углы. Затем проверьте ответы по ключу.
- ABCD — параллелограмм, вершины перечислены по контуру; угол A = 48°. Найдите углы B, C, D.
- ABCD — параллелограмм, вершины перечислены по контуру; угол A = 105°. Найдите углы B, C, D.
- ABCD — параллелограмм, вершины перечислены по контуру; угол A = 39°. Найдите углы B, C, D.
- ABCD — параллелограмм, вершины перечислены по контуру; угол A = 120°. Найдите углы B, C, D.
- ABCD — параллелограмм, вершины перечислены по контуру; угол A = 84°. Найдите углы B, C, D.
- ABCD — параллелограмм, вершины перечислены по контуру; угол A = 57°. Найдите углы B, C, D.
Ключ и проверка вычислений
- B = 132°, C = 48°, D = 132°. Противоположные углы равны; 48° + 132° = 180°.
- B = 75°, C = 105°, D = 75°. Противоположные углы равны; 105° + 75° = 180°.
- B = 141°, C = 39°, D = 141°. Противоположные углы равны; 39° + 141° = 180°.
- B = 60°, C = 120°, D = 60°. Противоположные углы равны; 120° + 60° = 180°.
- B = 96°, C = 84°, D = 96°. Противоположные углы равны; 84° + 96° = 180°.
- B = 123°, C = 57°, D = 123°. Противоположные углы равны; 57° + 123° = 180°.
Как найти и исправить ошибку
Перепутали соседние и противоположные вершины. Буквы идут по контуру, поэтому после A следует B, а напротив A находится C. Проверьте расположение по порядку ABCD, прежде чем подставлять величины.
Вычли известный угол из 90°. Для соседних углов параллелограмма используется сумма 180°. Исправьте действие на 180° − A и заново запишите оба соседних угла.
Получили четыре одинаковых угла без основания. Равенство гарантировано для противоположных пар. Чтобы проверить соседнюю пару, сложите её: результат должен быть 180°. В приведённых задачах нельзя просто перенести известное значение на все вершины.
Нашли только B и C. Угол D тоже требуется в ответе. Он равен B как противоположный ему угол; при этом D соседствует с A, поэтому его можно проверить сложением с A.
Получили правильные числа, но поставили их не у тех букв. Сверьте ответ в порядке B, C, D. Значение A должно стоять у C, а результат вычитания из 180° — у B и D. Такая проверка помогает заметить перестановку даже тогда, когда вычисления выполнены верно.
Для более широкой подготовки пригодится статья «Подготовка к ОГЭ по геометрии: чертежи, свойства и доказательства».