В задачах на НОД ищут наибольший общий делитель чисел, а в задачах на НОК — их наименьшее положительное общее кратное. НОД пригодится, например, когда нужно составить максимальное число одинаковых наборов без остатка.
Сначала разберём четыре примера на делители, затем найдём общие кратные и распределим предметы в восьми самостоятельных задачах. Ответы и перебор находятся после условий.
Чем общий делитель отличается от общего кратного
Делитель числа — целое число, на которое оно делится без остатка. НОД двух положительных целых чисел — наибольший из их положительных общих делителей.
Кратное числа получается при умножении этого числа на целое число. НОК двух положительных целых чисел — наименьшее из их положительных общих кратных. Определения НОД и НОК приведены в официальной документации Python.
Для небольших чисел удобно выписать положительные делители каждого и выбрать наибольший общий. Чтобы найти НОК, можно последовательно выписывать положительные кратные одного числа и проверять, делятся ли они на другое. Первое подошедшее кратное будет искомым: все предыдущие уже проверены.
В задаче про наборы число наборов должно делить без остатка количество предметов каждого вида. Если нужно максимальное число наборов, ищите наибольший общий делитель. После этого разделите количество каждого вида предметов на число наборов.
Если важно отдельно разобраться, как количество предметов связано с числом равных частей, пригодится статья «Как объяснить ребёнку целое и части в задачах».
Четыре примера поиска НОД
1. НОД чисел 28 и 42
Найдите НОД чисел 28 и 42.
Положительные делители 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Делители 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Общие делители — 1, 2, 7 и 14. Наибольший из них — 14.
Ответ: НОД(28, 42) = 14. Проверка: 28 / 14 = 2, 42 / 14 = 3; оба деления выполняются без остатка.
2. НОД чисел 45 и 75
Найдите НОД чисел 45 и 75.
Делители 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Делители 75: 1, 3, 5, 15, 25, 75. Общие делители — 1, 3, 5 и 15; наибольший — 15.
Ответ: НОД(45, 75) = 15. Проверка: 45 / 15 = 3, 75 / 15 = 5. Среди выписанных общих делителей большего нет.
3. НОД чисел 36 и 84
Найдите НОД чисел 36 и 84.
Делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Делители 84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84. Общие делители — 1, 2, 3, 4, 6 и 12.
Ответ: НОД(36, 84) = 12. Проверка: 36 / 12 = 3, 84 / 12 = 7. По спискам видно, что 12 — наибольший общий делитель.
4. НОД чисел 54 и 90
Найдите НОД чисел 54 и 90.
Делители 54: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Делители 90: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. Общие делители — 1, 2, 3, 6, 9 и 18.
Ответ: НОД(54, 90) = 18. Проверка: 54 / 18 = 3, 90 / 18 = 5. Другие общие делители из списка меньше 18.
Восемь задач на НОК и число наборов
В задачах 1–4 найдите первое положительное кратное одного числа, которое делится на другое. В задачах 5–8 найдите максимальное число наборов, затем количество карандашей и наклеек в каждом.
- Найдите НОК чисел 8 и 14.
- Найдите НОК чисел 12 и 18.
- Найдите НОК чисел 15 и 21.
- Найдите НОК чисел 16 и 24.
- Нужно разложить 18 карандашей и 30 наклеек в максимальное число одинаковых наборов без остатка. Предметы каждого вида внутри наборов одинаковы; каждый набор содержит оба вида. Сколько наборов и предметов каждого вида получится?
- Нужно разложить 24 карандаша и 40 наклеек в максимальное число одинаковых наборов без остатка. Предметы каждого вида внутри наборов одинаковы; каждый набор содержит оба вида. Сколько наборов и предметов каждого вида получится?
- Нужно разложить 32 карандаша и 48 наклеек в максимальное число одинаковых наборов без остатка. Предметы каждого вида внутри наборов одинаковы; каждый набор содержит оба вида. Сколько наборов и предметов каждого вида получится?
- Нужно разложить 21 карандаш и 35 наклеек в максимальное число одинаковых наборов без остатка. Предметы каждого вида внутри наборов одинаковы; каждый набор содержит оба вида. Сколько наборов и предметов каждого вида получится?
Ответы с перебором кратных и делителей
- 56. Положительные кратные 8 до первого подходящего: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56. Из них на 14 делится только 56. Проверка: 56 / 8 = 7, 56 / 14 = 4. Значит, НОК(8, 14) = 56.
- 36. Положительные кратные 12 по порядку: 12, 24, 36. Первые два на 18 не делятся, а 36 делится: 36 / 12 = 3 и 36 / 18 = 2. Значит, НОК(12, 18) = 36.
- 105. Положительные кратные 15 до первого подходящего: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105. Только последнее из них делится на 21. Проверка: 105 / 15 = 7, 105 / 21 = 5. Значит, НОК(15, 21) = 105.
- 48. Положительные кратные 16 по порядку: 16, 32, 48. Ни 16, ни 32 на 24 не делится. Проверка для 48: 48 / 16 = 3, 48 / 24 = 2. Значит, НОК(16, 24) = 48.
- 6 наборов, по 3 карандаша и 5 наклеек. Общие положительные делители 18 и 30: 1, 2, 3, 6. Наибольший — 6. Делим предметы: 18 / 6 = 3 и 30 / 6 = 5. Проверка: 6 · 3 = 18 карандашей, 6 · 5 = 30 наклеек.
- 8 наборов, по 3 карандаша и 5 наклеек. Общие положительные делители 24 и 40: 1, 2, 4, 8. Наибольший — 8. В наборе 24 / 8 = 3 карандаша и 40 / 8 = 5 наклеек. Проверка: 8 · 3 = 24, 8 · 5 = 40.
- 16 наборов, по 2 карандаша и 3 наклейки. Общие положительные делители 32 и 48: 1, 2, 4, 8, 16. Наибольший — 16. В наборе 32 / 16 = 2 карандаша и 48 / 16 = 3 наклейки. Проверка: 16 · 2 = 32, 16 · 3 = 48.
- 7 наборов, по 3 карандаша и 5 наклеек. Общие положительные делители 21 и 35: 1, 7. Наибольший — 7. В наборе 21 / 7 = 3 карандаша и 35 / 7 = 5 наклеек. Проверка: 7 · 3 = 21, 7 · 5 = 35.
В ответах к задачам на наборы обратное умножение показывает, что все предметы распределены. А список общих делителей подтверждает, что больше одинаковых наборов без остатка составить нельзя.