Чтобы найти площадь параллелограмма, умножьте основание на высоту, проведённую к этому основанию. Для периметра сложите длины двух соседних сторон и умножьте сумму на два.
Ниже — четыре задачи с решениями и восемь для самостоятельной работы. Ответы с вычислениями находятся отдельно, после условий.
Стороны для периметра, основание и высота для площади
Обозначим основание через b, высоту к нему — через h, соседние стороны — через a и b, площадь — через S, периметр — через P. Используем правила из учебника OpenStax:
- Площадь: S = b · h.
- Высота: h = S / b.
- Периметр: P = 2 · (a + b).
Высота перпендикулярна выбранному основанию. Сторону, расположенную под наклоном, нельзя автоматически подставить вместо высоты. Длины двух сторон позволяют найти периметр, но для площади нужна дополнительная информация, например высота к известному основанию.
Если длины даны в сантиметрах, периметр и высоту записывают в сантиметрах, а площадь — в квадратных сантиметрах. Разницу между этими величинами помогает разобрать статья «Периметр и площадь: как объяснить ребёнку разницу».
Четыре разбора: считаем площадь по основанию и высоте
Во всех примерах высота относится именно к указанному основанию. Поэтому сначала находим произведение этих двух чисел, а затем записываем единицу площади.
Пример 1
Условие. Основание параллелограмма 7 см, высота к нему 4 см. Найдите площадь.
Подставляем b = 7 см и h = 4 см в формулу площади:
S = 7 · 4 = 28 см².
Ответ: 28 см².
Здесь 7 и 4 — длины, а их произведение выражает площадь. Поэтому к числу 28 добавляем см², а не см.
Пример 2
Условие. Основание параллелограмма 9 см, высота к нему 6 см. Найдите площадь.
Умножаем длину основания на соответствующую высоту:
S = 9 · 6 = 54 см².
Ответ: 54 см².
Можно проверить умножение отдельно: 9 · 6 = 54. Никакую вторую сторону для этого вычисления искать не требуется.
Пример 3
Условие. Основание параллелограмма 11 см, высота к нему 5 см. Найдите площадь.
В формуле S = b · h заменяем буквы числами из условия:
S = 11 · 5 = 55 см².
Ответ: 55 см².
Число 11 обозначает основание, а 5 — высоту именно к нему. В формуле они не обозначают две произвольные стороны.
Пример 4
Условие. Основание параллелограмма 13 см, высота к нему 8 см. Найдите площадь.
Сначала находим произведение, затем указываем единицу площади:
S = 13 · 8 = 104 см².
Ответ: 104 см².
Проверка умножения: 10 · 8 + 3 · 8 = 80 + 24 = 104. Полученное число относится к площади всей фигуры.
Восемь задач на периметр и высоту параллелограмма
В первых четырёх задачах нужны периметры. Запишите сумму двух данных сторон и удвойте её. В следующих четырёх известны площадь и основание: разделите площадь на это основание, чтобы найти высоту к нему.
- Стороны параллелограмма 5 см и 9 см. Найдите периметр.
- Стороны параллелограмма 7 см и 12 см. Найдите периметр.
- Стороны параллелограмма 8 см и 15 см. Найдите периметр.
- Стороны параллелограмма 11 см и 17 см. Найдите периметр.
- Площадь параллелограмма 56 см², выбранное основание 8 см. Найдите высоту к этому основанию.
- Площадь параллелограмма 60 см², выбранное основание 12 см. Найдите высоту к этому основанию.
- Площадь параллелограмма 90 см², выбранное основание 15 см. Найдите высоту к этому основанию.
- Площадь параллелограмма 72 см², выбранное основание 9 см. Найдите высоту к этому основанию.
Проверяем периметры и найденные высоты
- P = 2 · (5 + 9) = 2 · 14 = 28 см.
- P = 2 · (7 + 12) = 2 · 19 = 38 см.
- P = 2 · (8 + 15) = 2 · 23 = 46 см.
- P = 2 · (11 + 17) = 2 · 28 = 56 см.
- h = 56 / 8 = 7 см. Проверка: 8 · 7 = 56 см².
- h = 60 / 12 = 5 см. Проверка: 12 · 5 = 60 см².
- h = 90 / 15 = 6 см. Проверка: 15 · 6 = 90 см².
- h = 72 / 9 = 8 см. Проверка: 9 · 8 = 72 см².
Почему боковая сторона не заменяет высоту
Вместо высоты взята соседняя сторона. Вернитесь к условию и найдите величину, названную высотой к выбранному основанию. Если известны только две стороны, их достаточно для периметра, но не для вычисления площади.
Забыли удвоить сумму сторон. В периметр входят все четыре стороны. После сложения двух соседних сторон умножьте результат на два: например, в первой самостоятельной задаче 5 + 9 = 14, а периметр равен 28 см.
При поиске высоты умножили площадь на основание. Высота — неизвестный множитель в равенстве S = b · h. Чтобы его найти, нужно площадь разделить на основание. Обратная проверка — умножить полученную высоту на то же основание.
Перепутали единицы. Периметр и высота — длины, поэтому в этих задачах ответ выражается в см. Площадь записывается в см². Единица помогает заметить ошибку: ответ «28 см²» не может быть периметром в первой задаче.