Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому по длине одной диагонали, её половины или сумме двух диагоналей можно найти все четыре отрезка, о которых спрашивается в этой подборке.
Сначала определите, что именно дано: целая диагональ, её половина или сумма двух целых диагоналей. От этого зависит первое действие.
Какие отрезки обозначены в задачах
В прямоугольнике ABCD диагонали AC и BD соединяют противоположные вершины и пересекаются в точке O. По свойствам прямоугольника AC = BD, а точка O делит каждую из них пополам. Значит, AO — половина AC, BO — половина BD, и AO = BO.
Используйте подходящий маршрут:
- Если дана AC, то BD равна ей, а AO и BO равны половине AC.
- Если дана AO, то AC вдвое больше, BD равна AC, а BO равна AO.
- Если дана сумма AC + BD, разделите её на два: получите длину каждой диагонали. Ещё раз разделите результат на два, чтобы найти AO и BO.
Длины сторон прямоугольника для этих действий не нужны. В ответе записывайте единицы измерения и все четыре запрошенных отрезка, включая тот, который уже был дан.
Разбор 1. Дана целая диагональ
Условие. В прямоугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в O. Дано: диагональ AC = 10 см. Найдите длины AC, BD, AO и BO.
Диагонали равны, поэтому BD = 10 см. Точка O делит каждую пополам: AO = 10 / 2 = 5 см и BO = 10 / 2 = 5 см.
Ответ: AC = 10 см, BD = 10 см, AO = 5 см, BO = 5 см.
Проверка: удвоенная половина каждой диагонали равна 10 см; диагонали равны между собой.
Разбор 2. Дана половина диагонали
Условие. В прямоугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в O. Дано: отрезок AO = 7 см. Найдите длины AC, BD, AO и BO.
AO — половина диагонали AC, значит, AC = 2 · 7 = 14 см. Вторая диагональ равна первой: BD = 14 см. Её половина BO = 14 / 2 = 7 см.
Ответ: AC = 14 см, BD = 14 см, AO = 7 см, BO = 7 см.
Проверка: AO и BO равны, а каждая целая диагональ вдвое больше своей половины.
Задачи для самостоятельной работы
В каждом пункте запишите первое действие по данным условия. После решения проверьте и равенство диагоналей, и соотношение целой диагонали с её половиной.
3. В прямоугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в O. Дано: сумма длин диагоналей AC + BD = 36 см. Найдите длины AC, BD, AO и BO.
4. В прямоугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в O. Дано: диагональ AC = 26 см. Найдите длины AC, BD, AO и BO.
5. В прямоугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в O. Дано: отрезок AO = 8 см. Найдите длины AC, BD, AO и BO.
6. В прямоугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в O. Дано: сумма длин диагоналей AC + BD = 44 см. Найдите длины AC, BD, AO и BO.
7. В прямоугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в O. Дано: диагональ AC = 18 см. Найдите длины AC, BD, AO и BO.
8. В прямоугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в O. Дано: отрезок AO = 12 см. Найдите длины AC, BD, AO и BO.
Ключ и проверка
3. Равные диагонали вместе дают 36 см, поэтому каждая равна 36 / 2 = 18 см. Половина равна 18 / 2 = 9 см. Ответ: AC = 18 см, BD = 18 см, AO = 9 см, BO = 9 см. Проверка: 18 + 18 = 36; 2 · 9 = 18.
4. BD = AC = 26 см; половина каждой диагонали равна 26 / 2 = 13 см. Ответ: AC = 26 см, BD = 26 см, AO = 13 см, BO = 13 см. Проверка: 2 · 13 = 26.
5. AC = 2 · 8 = 16 см, BD = 16 см, BO = 16 / 2 = 8 см. Ответ: AC = 16 см, BD = 16 см, AO = 8 см, BO = 8 см. Проверка: 2 · 8 = 16.
6. Каждая диагональ равна 44 / 2 = 22 см, её половина — 22 / 2 = 11 см. Ответ: AC = 22 см, BD = 22 см, AO = 11 см, BO = 11 см. Проверка: 22 + 22 = 44; 2 · 11 = 22.
7. BD = AC = 18 см; половина каждой диагонали равна 18 / 2 = 9 см. Ответ: AC = 18 см, BD = 18 см, AO = 9 см, BO = 9 см. Проверка: 2 · 9 = 18.
8. AC = 2 · 12 = 24 см, BD = 24 см, BO = 24 / 2 = 12 см. Ответ: AC = 24 см, BD = 24 см, AO = 12 см, BO = 12 см. Проверка: 2 · 12 = 24.
Типичная ошибка
Когда дана сумма диагоналей, её иногда принимают за длину одной диагонали. В задаче 6 число 44 относится сразу к AC и BD. Поскольку они равны, сначала нужно разделить сумму на два, а не сразу искать половину от 44.
Если вы готовитесь к экзамену, используйте эти упражнения при подготовке к ОГЭ по геометрии: чертежи, свойства и доказательства.