Дисперсия конечного набора — это среднее квадратов отклонений его значений от среднего. Чтобы её найти, сложите квадраты отклонений и разделите сумму на число значений, то есть на n. Это правило описано в учебнике OpenStax.
Ниже — два разбора и шесть самостоятельных задач. Во всех восьми рассматривается весь указанный набор, поэтому делить нужно на n, а не на n − 1.
Что обозначают записи
Пусть x — одно из чисел набора, а среднее — сумма всех чисел, делённая на их количество. Отклонение x − среднее показывает, на сколько число отличается от среднего. Знак Σ означает, что нужно сложить результаты для всех значений.
Запишем порядок вычислений так:
Дисперсия = Σ(x − среднее)² / n.
Одинаковые значения тоже учитывают по отдельности: каждое входит в набор и участвует в сумме.
Разбор 1. Три разных значения
Найдите дисперсию всего конечного набора [2, 4, 6]. Делите сумму квадратов отклонений на n, не на n − 1.
- В наборе три значения, поэтому n = 3.
- Среднее: (2 + 4 + 6) / 3 = 4.
- Отклонения: 2 − 4 = −2, 4 − 4 = 0, 6 − 4 = 2.
- Квадраты отклонений: 4, 0 и 4. Их сумма равна 8.
- Делим на число значений: 8 / 3.
Ответ: 8/3. Проверка: сумма отклонений −2 + 0 + 2 равна нулю, а сумма их квадратов неотрицательна.
Разбор 2. Повторяющиеся значения
Найдите дисперсию всего конечного набора [1, 3, 3, 5]. Делите сумму квадратов отклонений на n, не на n − 1.
Среднее равно (1 + 3 + 3 + 5) / 4 = 3. Отклонения четырёх значений: −2, 0, 0 и 2. Сумма квадратов равна 4 + 0 + 0 + 4 = 8. Делим её на n = 4 и получаем 2.
Проверка: оба числа 3 учтены, хотя каждое дало нулевое отклонение. В знаменателе остаётся четыре, а не три.
Шесть задач для самостоятельной работы
В каждой задаче найдите дисперсию всего конечного набора. Делите сумму квадратов отклонений на n, не на n − 1.
- Набор [0, 0, 4, 4].
- Набор [5, 5, 5].
- Набор [−2, 0, 2].
- Набор [−3, −1, 1, 3].
- Набор [2, 2, 2, 6].
- Набор [1, 2, 3, 4, 5].
Сначала запишите среднее и отклонение каждого числа. Затем найдите сумму квадратов и только после этого делите её на количество чисел. Сверяйте не только итог, но и промежуточные значения.
Ответы и решения
1. Среднее: (0 + 0 + 4 + 4) / 4 = 2. Отклонения: −2, −2, 2, 2. Сумма квадратов: 4 + 4 + 4 + 4 = 16. Дисперсия: 16 / 4 = 4.
2. Среднее: (5 + 5 + 5) / 3 = 5. Все три отклонения равны нулю, их квадраты тоже. Дисперсия: 0 / 3 = 0.
3. Среднее: (−2 + 0 + 2) / 3 = 0. Отклонения: −2, 0, 2. Сумма квадратов: 4 + 0 + 4 = 8. Дисперсия: 8 / 3 = 8/3.
4. Среднее: (−3 − 1 + 1 + 3) / 4 = 0. Отклонения: −3, −1, 1, 3. Сумма квадратов: 9 + 1 + 1 + 9 = 20. Дисперсия: 20 / 4 = 5.
5. Среднее: (2 + 2 + 2 + 6) / 4 = 3. Отклонения: −1, −1, −1, 3. Сумма квадратов: 1 + 1 + 1 + 9 = 12. Дисперсия: 12 / 4 = 3.
6. Среднее: (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3. Отклонения: −2, −1, 0, 1, 2. Сумма квадратов: 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10. Дисперсия: 10 / 5 = 2.
Как проверить вычисления
Типичная ошибка — сложить отклонения без возведения в квадрат. Их сумма при правильно найденном среднем равна нулю, но это не означает, что дисперсия любого набора равна нулю. Например, в первом разборе отклонения взаимно уничтожаются, а их квадраты дают сумму 8.
Для проверки пересчитайте количество слагаемых: оно должно совпадать с n. Отрицательное отклонение при возведении в квадрат становится неотрицательным, поэтому отрицательной дисперсии быть не может.
Если ребёнку трудно выделить данные и вопрос до начала вычислений, поможет статья «Ребёнок не понимает условие задачи: как помочь разобраться».