При последовательных процентных изменениях каждый следующий процент считают от уже полученного числа. Поэтому нельзя просто сложить процент увеличения и процент уменьшения и применить результат к исходному значению. Сначала найдите число после первого действия, затем используйте его как основание для второго.
Увеличить число на p% — значит умножить его на 1 + p / 100. Уменьшить на q% — значит умножить текущее число на 1 − q / 100. Для двух действий подряд можно записать: конечное число = исходное число × (1 + p / 100) × (1 − q / 100). Здесь p — процент увеличения, q — процент уменьшения; порядок множителей в записи не меняет результата, но при решении по шагам важно не потерять промежуточное число.
Почему второй процент считают от нового числа
Процент всегда относится к некоторому основанию. После первого изменения основание для следующего действия меняется: это уже не исходное число, а результат первого шага. Именно поэтому увеличение и уменьшение на один и тот же процент не обязаны возвращать исходное значение.
Правило увеличения и уменьшения через процент от основания приведено в открытом учебнике OpenStax. Последовательное применение этого правила и все задачи ниже составлены для этой статьи.
Чтобы решение было видно без мысленных переходов, удобно делать две записи. Первая отвечает на вопрос «сколько стало после увеличения?». Вторая начинается с полученного ответа и показывает «сколько осталось после уменьшения?». Даже если вы используете одну формулу с двумя множителями, промежуточное значение полезно выписать для проверки.
Пример 1. Увеличение на 10%, затем уменьшение на 5%
Условие. Исходное число 10000 сначала увеличили на 10%, затем полученное число уменьшили на 5%. Найдите окончательное число.
Первое действие выполняем над 10000:
10000 × (1 + 10 / 100) = 11000.
Теперь 5% считают от 11000, потому что именно это число получили после увеличения:
11000 × (1 − 5 / 100) = 10450.
Ответ: 10450. Результат больше исходного числа, но меньше значения после первого действия. Это согласуется с указанным порядком изменений; сама оценка, однако, не заменяет вычисления.
Пример 2. Сохраните промежуточный результат
Условие. Исходное число 11000 сначала увеличили на 15%, затем полученное число уменьшили на 10%. Найдите окончательное число.
После увеличения получаем:
11000 × (1 + 15 / 100) = 12650.
Второе действие начинается с 12650:
12650 × (1 − 10 / 100) = 11385.
Ответ: 11385. Если ошибочно вычислить уменьшение от исходных 11000, получится ответ к другой последовательности действий. Промежуточная запись показывает, какое число было основанием второго процента.
Пример 3. Проверьте, что вычли процент от текущего числа
Условие. Исходное число 12000 сначала увеличили на 20%, затем полученное число уменьшили на 15%. Найдите окончательное число.
Сначала находим результат увеличения:
12000 × (1 + 20 / 100) = 14400.
Затем уменьшаем 14400 на 15%:
14400 × (1 − 15 / 100) = 12240.
Ответ: 12240. Проверить второе действие можно обратным подсчётом: 15% от 14400 равны 2160, а 14400 − 2160 = 12240. Такая проверка обнаруживает ошибку, если в скобках случайно поставлен знак «+» вместо «−».
Как не смешивать проценты разных оснований
Слова «сначала» и «затем» задают два отдельных шага. Выписывайте под ними числа, к которым относятся проценты. В начале это исходное значение; после первого действия — новое. Если считать оба процента от исходного числа, математическая модель изменится, даже если сами проценты переписаны верно.
Можно решать без множителей: найти величину первого изменения в процентах от исходного числа, прибавить её, затем найти величину второго изменения в процентах от промежуточного числа и вычесть. Оба способа равнозначны. Множители короче, а запись через величину изменения помогает увидеть, почему основание на втором шаге другое. Выберите один способ для основного решения, а другой используйте для проверки там, где возникло сомнение.
Для быстрой оценки сравните три числа: исходное, промежуточное и окончательное. После увеличения на положительный процент промежуточное число должно быть больше исходного. После уменьшения на положительный процент окончательное должно быть меньше промежуточного. Сравнение окончательного с исходным зависит от обоих действий: заранее объявлять его большим или меньшим только по названиям процентов нельзя.
Если само понятие процента пока вызывает трудности, сначала разберите две задачи о процентах для 6 класса. Здесь же отрабатывается именно переход от одного основания ко второму.
Восемь задач на два последовательных изменения
В каждой задаче вычислите число после увеличения и используйте его для уменьшения. Не пропускайте промежуточное значение: по нему проще проверить, от какого числа взят второй процент.
- Исходное число 13000 сначала увеличили на 25%, затем полученное число уменьшили на 5%. Найдите окончательное число.
- Исходное число 14000 сначала увеличили на 30%, затем полученное число уменьшили на 10%. Найдите окончательное число.
- Исходное число 15000 сначала увеличили на 10%, затем полученное число уменьшили на 15%. Найдите окончательное число.
- Исходное число 16000 сначала увеличили на 15%, затем полученное число уменьшили на 5%. Найдите окончательное число.
- Исходное число 17000 сначала увеличили на 20%, затем полученное число уменьшили на 10%. Найдите окончательное число.
- Исходное число 18000 сначала увеличили на 25%, затем полученное число уменьшили на 15%. Найдите окончательное число.
- Исходное число 19000 сначала увеличили на 30%, затем полученное число уменьшили на 5%. Найдите окончательное число.
- Исходное число 20000 сначала увеличили на 10%, затем полученное число уменьшили на 10%. Найдите окончательное число.
Ответы с промежуточными вычислениями
- 15437,5. После увеличения: 13000 × (1 + 25 / 100) = 16250. После уменьшения: 16250 × (1 − 5 / 100) = 15437,5. Дробную часть здесь сохраняем: округлять точный ответ не нужно.
- 16380. После увеличения: 14000 × (1 + 30 / 100) = 18200. После уменьшения: 18200 × (1 − 10 / 100) = 16380.
- 14025. После увеличения: 15000 × (1 + 10 / 100) = 16500. После уменьшения: 16500 × (1 − 15 / 100) = 14025. Окончательное число здесь меньше исходного; это следует из вычисления, а не из одного лишь сравнения процентов.
- 17480. После увеличения: 16000 × (1 + 15 / 100) = 18400. После уменьшения: 18400 × (1 − 5 / 100) = 17480.
- 18360. После увеличения: 17000 × (1 + 20 / 100) = 20400. После уменьшения: 20400 × (1 − 10 / 100) = 18360.
- 19125. После увеличения: 18000 × (1 + 25 / 100) = 22500. После уменьшения: 22500 × (1 − 15 / 100) = 19125.
- 23465. После увеличения: 19000 × (1 + 30 / 100) = 24700. После уменьшения: 24700 × (1 − 5 / 100) = 23465.
- 19800. После увеличения: 20000 × (1 + 10 / 100) = 22000. После уменьшения: 22000 × (1 − 10 / 100) = 19800. Равные проценты не вернули исходное число, потому что основания двух действий различались.
Если ваш ответ расходится с указанным, сначала сравните промежуточное число, а потом последнее действие. Так ошибка локализуется: либо неверно выполнено увеличение, либо уменьшение посчитано не от полученного значения. При нескольких последовательных изменениях действует тот же приём — после каждого шага записывайте текущее число и только затем применяйте следующий процент.