В этих задачах два неизвестных угла трапеции находятся вычитанием известных углов из 180°. Главное — выбрать углы у одной боковой стороны, а не просто соседние буквы в записи.
Если основания параллельны, сумма углов, прилежащих к каждой боковой стороне, равна 180°. Это свойство рассматривается в уроке о трапеции на «ИнтернетУроке». Условия ниже не называют трапеции равнобедренными, поэтому считать углы при основании равными нельзя.
Какие углы составляют пары
Во всех восьми заданиях вершины A, B, C и D перечислены по контуру, а AB ∥ CD. Знак ∥ означает параллельность. Стороны AB и CD — основания, BC и AD — боковые стороны.
У стороны BC лежат углы B и C, у стороны AD — углы A и D. Поэтому для каждого условия:
- B + C = 180°, значит C = 180° − B;
- A + D = 180°, значит D = 180° − A.
Буква после слова «угол» обозначает вершину, при которой он расположен. Градусы показывают величину угла. Чтобы не перепутать пары, перед вычислениями выпишите названия боковых сторон и углы у их концов.
Разбор 1. Оба данных угла меньше 90°
В трапеции ABCD вершины перечислены по контуру, AB ∥ CD. Углы A = 60°, B = 75°. Найдите C и D.
Углу C соответствует угол B: они прилежат к боковой стороне BC. Вычитаем:
C = 180° − 75° = 105°.
Углу D соответствует угол A: они прилежат к боковой стороне AD. Получаем:
D = 180° − 60° = 120°.
Ответ: C = 105°, D = 120°.
Проверка по парам: 75° + 105° = 180° и 60° + 120° = 180°.
Разбор 2. Один из данных углов больше 90°
В трапеции ABCD вершины перечислены по контуру, AB ∥ CD. Углы A = 80°, B = 110°. Найдите C и D.
Порядок действий тот же, даже если угол B больше прямого:
C = 180° − B = 180° − 110° = 70°;
D = 180° − A = 180° − 80° = 100°.
Ответ: C = 70°, D = 100°.
Проверка: 110° + 70° = 180°, 80° + 100° = 180°.
Как избежать ошибки в парах
Частая ошибка — вычесть A из 180° и назвать результат углом C. Но A и C не лежат у одной боковой стороны. По условию AB ∥ CD нужные пары — B и C, A и D.
Если ответ вызывает сомнение, проверьте обе суммы отдельно. Одной суммы недостаточно: она покажет только, правильно ли найдена одна из двух пар. Общая сумма четырёх углов 360° тоже может служить дополнительной проверкой, но сама по себе не доказывает, что C и D не перепутаны.
Шесть задач
В каждой задаче в трапеции ABCD вершины перечислены по контуру, AB ∥ CD. Найдите углы C и D.
- A = 45°, B = 120°.
- A = 100°, B = 65°.
- A = 70°, B = 85°.
- A = 55°, B = 95°.
- A = 105°, B = 40°.
- A = 72°, B = 108°.
Для каждой задачи сначала найдите C по углу B, затем D по углу A. Записывайте единицы измерения и проверяйте результат сложением углов у каждой боковой стороны.
Ответы с вычислениями
1. C = 180° − 120° = 60°; D = 180° − 45° = 135°. Проверка: 120° + 60° = 180°; 45° + 135° = 180°.
2. C = 180° − 65° = 115°; D = 180° − 100° = 80°. Проверка: 65° + 115° = 180°; 100° + 80° = 180°.
3. C = 180° − 85° = 95°; D = 180° − 70° = 110°. Проверка: 85° + 95° = 180°; 70° + 110° = 180°.
4. C = 180° − 95° = 85°; D = 180° − 55° = 125°. Проверка: 95° + 85° = 180°; 55° + 125° = 180°.
5. C = 180° − 40° = 140°; D = 180° − 105° = 75°. Проверка: 40° + 140° = 180°; 105° + 75° = 180°.
6. C = 180° − 108° = 72°; D = 180° − 72° = 108°. Проверка: 108° + 72° = 180°; 72° + 108° = 180°.
В последней задаче C оказался равен A, а D — B. Это результат вычислений для данных углов, а не правило, которое можно применять ко всем трапециям.
Чтобы продолжить работу с чертежами и свойствами фигур, используйте материал «Подготовка к ОГЭ по геометрии: чертежи, свойства и доказательства».