Сравнить числа по модулю — значит проверить, дают ли они одинаковый остаток при делении на одно и то же число. Например, 17 и 5 сравнимы по модулю 4: 17 даёт остаток 1, и 5 тоже даёт остаток 1. Это записывают так: 17 ≡ 5 (mod 4).
Для решения большинства простых задач хватит двух способов. Можно разделить каждое число на модуль и сопоставить остатки. А можно вычесть одно число из другого: если разность делится на модуль без остатка, числа сравнимы. У 17 и 5 разность равна 12, а 12 делится на 4. Разберём, какой способ удобнее в разных условиях.
Что именно нужно сравнивать
В записи 17 ≡ 5 (mod 4) число 4 называют модулем. Оно показывает, на что мы делим числа при проверке. Здесь нас не интересует, что 17 больше 5 на 12. Важно, что после деления на 4 у них остаётся одинаковая «лишняя» часть.
Это можно представить с помощью упаковок по четыре предмета. Из 17 карандашей получатся четыре полные упаковки и один карандаш останется. Из 5 — одна полная упаковка и тоже один останется. Количество полных упаковок разное, остаток одинаковый.
При записи остатка есть простое ограничение: он не может быть равен модулю или быть больше него. При делении на 4 возможны только остатки 0, 1, 2 и 3. Если после расчёта получился «остаток 4», значит, можно собрать ещё одну полную четвёрку и остаток станет нулём.
Шаг 1. Найдите остатки
Начните с задачи: сравнимы ли 23 и 8 по модулю 5?
Запишите оба числа через полные пятёрки:
- 23 = 5 × 4 + 3, остаток 3;
- 8 = 5 × 1 + 3, остаток 3.
Остатки совпали, значит, 23 ≡ 8 (mod 5). Для самопроверки найдём разность: 23 − 8 = 15. Число 15 делится на 5 без остатка.
Теперь другой случай: сравнимы ли 23 и 9 по модулю 5? У 23 остаток 3, у 9 остаток 4. Поэтому 23 и 9 не сравнимы по модулю 5. Разность тоже подтверждает ответ: 23 − 9 = 14, а 14 на 5 без остатка не делится.
Если ребёнку пока трудно быстро находить остаток, удобно выписывать ближайшее меньшее число, которое делится на модуль. Для 23 при делении на 5 это 20; разница между 23 и 20 равна 3. Так легче увидеть остаток, чем пытаться сразу выполнить деление в уме.
Шаг 2. Используйте разность, когда так короче
Для больших чисел два деления часто заменяются одним вычитанием. Проверим, сравнимы ли 148 и 73 по модулю 15. Разность равна 148 − 73 = 75. Так как 75 = 15 × 5, ответ положительный: 148 ≡ 73 (mod 15).
Почему это работает? Если от 148 убрать 75, то есть пять полных групп по 15, останется 73. Такое уменьшение меняет число полных групп, но не остаток. Правило действует и в обратную сторону: если у двух чисел один остаток, их разность состоит из целого числа групп по модулю.
Попробуем 146 и 73 при том же модуле. Разность равна 73. Число 73 не делится на 15, поэтому сравнения нет. Не нужно отдельно искать оба остатка, если вопрос требует только ответа «да» или «нет».
Разность особенно полезна, когда числа близки друг к другу. Например, для 1002 и 998 по модулю 4 сразу видно: разность 4 делится на 4. Значит, числа сравнимы. Если модуль велик, а деление разности неудобно, вернитесь к остаткам. Оба способа дают один ответ, поэтому можно выбирать более короткий.
Шаг 3. Найдите число по заданному остатку
Иногда в задаче нет готовой пары чисел. Сказано: «Найдите число от 20 до 35, которое сравнимо с 4 по модулю 7». Это значит, что искомое число при делении на 7 даёт остаток 4.
Начните с 4 и прибавляйте по 7: 4, 11, 18, 25, 32, 39. В промежуток от 20 до 35 попадают два числа — 25 и 32. У этой задачи два ответа, и оба нужны: 25 = 7 × 3 + 4, 32 = 7 × 4 + 4.
Чтобы получить единственный ответ, условие должно сузить выбор. Например: «Найдите наименьшее число от 20 до 35, которое сравнимо с 4 по модулю 7». Тогда ответ — 25. Слово «наименьшее» здесь не украшение, а часть задачи.
Разберём ещё пример: найдите число от 40 до 50, сравнимое с 2 по модулю 6. Цепочка чисел с остатком 2 выглядит так: 2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, 44, 50. В заданный промежуток входят 44 и 50. Если границы включены, оба числа подходят. Перед решением полезно уточнять, входят ли в промежуток его концы; в этой задаче число 50 входит.
Шаг 4. Переведите условие из слов в остатки
Задачи на сравнение по модулю не всегда содержат знак ≡. Они могут говорить о предметах, которые раскладывают поровну.
«После раскладывания 29 фишек по коробкам, в каждую из которых помещается 6 фишек, осталось столько же фишек, сколько при таком же раскладывании 17 фишек. Верно ли это?» У 29 остаток 5, потому что 29 = 6 × 4 + 5. У 17 остаток тоже 5, потому что 17 = 6 × 2 + 5. Утверждение верно: 29 ≡ 17 (mod 6).
А вот если фишек 30 и 17, остатки различаются: 30 делится на 6 без остатка, у 17 остаётся 5. Формулировка «столько же осталось» относится именно к остатку, а не к числу полных коробок.
Ещё один привычный сюжет — повторяющиеся дни. Если сегодня понедельник, то через 7 дней снова будет понедельник, через 14 — тоже. Через 17 дней и через 3 дня будет один и тот же день недели, потому что 17 − 3 = 14, а 14 делится на 7. Здесь модуль равен 7: цикл повторяется каждые семь дней. Чтобы узнать сам день, отсчитайте три дня после понедельника — это четверг.
Ошибки, которые легко проверить
Первая ошибка — сравнить сами числа вместо остатков. Из того, что 28 больше 10, ничего не следует о сравнении по модулю. При модуле 6 оба числа дают остаток 4: 28 = 6 × 4 + 4, 10 = 6 × 1 + 4. Следовательно, они сравнимы.
Вторая ошибка — поменять модуль в ходе решения. Числа 17 и 5 сравнимы по модулю 4, потому что разность 12 делится на 4. По модулю 5 они не сравнимы: у 17 остаток 2, у 5 остаток 0. Модуль берут только из условия и сохраняют до конца проверки.
Третья ошибка — остановиться после одного найденного числа, когда условие просит все варианты. Если ищем числа от 1 до 20 с остатком 1 при делении на 5, ответом будут 1, 6, 11 и 16. Число 21 уже не входит в промежуток. Проверка границ помогает не потерять первый или последний вариант.
Если трудность связана с числами меньше нуля, сначала можно разобрать их на числовой прямой в материале «Отрицательные числа: как объяснить ребёнку числа ниже нуля». А здесь для первых тренировок достаточно положительных чисел и нуля.
Упражнения с разбором
1. Сравнимы ли 41 и 13 по модулю 7? Разность 41 − 13 = 28. Так как 28 = 7 × 4, числа сравнимы. Проверка остатками: 41 = 7 × 5 + 6, 13 = 7 × 1 + 6.
2. Сравнимы ли 52 и 19 по модулю 8? Разность равна 33. Она не делится на 8, поэтому числа не сравнимы. У 52 остаток 4, у 19 остаток 3.
3. Найдите все числа от 15 до 30, которые сравнимы с 3 по модулю 4. Прибавляем к 3 четвёрки: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31. В промежуток входят 15, 19, 23 и 27. Для проверки вычтите из каждого числа 3: получатся 12, 16, 20 и 24 — все делятся на 4.
4. Какое наибольшее число меньше 50 сравнимо с 1 по модулю 9? Ищем числа вида «несколько девяток и остаток 1»: 1, 10, 19, 28, 37, 46, 55. Последнее число меньше 50 — 46. Проверка: 46 = 9 × 5 + 1.
5. У Маши 34 бусины, у Димы 22. Будет ли у них одинаковый остаток, если каждый разложит свои бусины группами по 6? Да. Разность 34 − 22 = 12 делится на 6. Можно проверить прямо: 34 = 6 × 5 + 4, 22 = 6 × 3 + 4.
Просите сначала назвать модуль, затем выбрать способ проверки и только потом считать. Такой порядок помогает заметить, если ребёнок случайно делит числа на разное количество или отвечает на вопрос о величине чисел вместо вопроса об остатке.
Частые вопросы
Что означает знак ≡?
В этих задачах он читается как «сравнимо». Запись 14 ≡ 2 (mod 4) означает, что 14 и 2 дают одинаковый остаток при делении на 4. Это не знак обычного равенства: 14 и 2 остаются разными числами.
Может ли остаток быть нулём?
Да. Например, 18 и 30 сравнимы по модулю 6: оба делятся на 6 без остатка. Ноль — такой же допустимый остаток, как 1, 2, 3, 4 и 5 при делении на 6.
Что делать, если найдено несколько ответов?
Проверьте, что именно просит условие: одно число, все числа, наименьшее или наибольшее. Если сказано «все», перечислите каждый подходящий вариант в заданных границах. Если сказано «наименьшее», выберите первый из них и проверьте, что предыдущий уже не подходит.