В задачах на избыток и недостаток количество детей и количество предметов не меняются. Меняется только число предметов, которое предполагается дать каждому. Если при меньшей норме предметы остаются, а при большей их не хватает, разница между этими двумя нормами помогает найти число детей.
Затем можно найти общее количество предметов по любому из условий и обязательно проверить по другому. Ниже во всех задачах речь идёт о детях и карандашах; никакой настоящей раздачи для решения проводить не нужно.
Как перевести остаток и нехватку в равенства
Обозначим через n число детей, а через N — общее число карандашей. Пусть при первом варианте каждому дают по a карандашей и остаётся r карандашей. При втором варианте каждому хотели бы дать по b карандашей, но не хватает s карандашей. Здесь b больше a.
Первое условие записывается так: N = a × n + r. Выражение a × n показывает, сколько карандашей досталось бы детям, а r — сколько осталось бы после раздачи.
Второе условие записывается так: N = b × n − s. Для раздачи по b карандашей потребовалось бы b × n карандашей, но имеющихся на s меньше.
Поскольку в обоих случаях N обозначает одно и то же количество, получаем равенство a × n + r = b × n − s. Отсюда (b − a) × n = r + s, а значит, n = (r + s) / (b − a). После этого находим карандаши: N = a × n + r или N = b × n − s.
Перевод условия задачи в уравнение и проверка ответа по исходным данным — приём, описанный в открытом учебнике OpenStax. Приведённые здесь условия и вычисления составлены для этой статьи.
Почему остаток складывают с нехваткой
При переходе от раздачи по a карандашей к раздаче по b карандашей на каждого ребёнка потребность увеличивается на b − a карандашей. Сначала нужно было бы использовать то, что оставалось при первом варианте, — r карандашей. Но этого недостаточно: после их использования всё равно недостаёт ещё s карандашей. Значит, общее увеличение потребности равно r + s.
Так получаем то же правило без заучивания знаков: увеличение нормы на одного ребёнка умножаем на число детей и приравниваем к сумме остатка и нехватки. Важно не перепутать роли величин. r + s измеряется карандашами, а b − a — карандашами на одного ребёнка. После деления получается число детей, а не число карандашей.
Три примера с полной проверкой
Пример 1. Остался один карандаш
Если раздать каждому ребёнку по 2 карандаша, останется 1 карандаш. Если раздавать по 5 карандашей, не хватит 29 карандашей. Во всех случаях детей и карандашей одно и то же количество. Сколько детей и сколько карандашей?
Разница норм: 5 − 2 = 3 карандаша на каждого ребёнка. Переход от остатка к нехватке составляет 1 + 29 = 30 карандашей. Поэтому детей 30 / 3 = 10.
По первому условию карандашей 2 × 10 + 1 = 21. Проверяем по второму: для раздачи по 5 понадобилось бы 5 × 10 = 50 карандашей; 50 − 21 = 29. Нехватка совпала с условием.
Ответ: 10 детей и 21 карандаш.
Пример 2. Сверяем две записи одного количества
Если раздать каждому ребёнку по 3 карандаша, останутся 2 карандаша. Если раздавать по 6 карандашей, не хватит 31 карандаша. Во всех случаях детей и карандашей одно и то же количество. Сколько детей и сколько карандашей?
Пусть n — число детей. По первому условию карандашей 3 × n + 2, по второму — 6 × n − 31. Приравниваем: 3 × n + 2 = 6 × n − 31. Переносим величины: 2 + 31 = (6 − 3) × n, то есть 33 = 3 × n. Значит, n = 11.
Карандашей 3 × 11 + 2 = 35. Проверка по другому варианту: 6 × 11 − 31 = 35. Обе записи дают одно число.
Ответ: 11 детей и 35 карандашей.
Пример 3. Проверяем остаток и нехватку отдельно
Если раздать каждому ребёнку по 4 карандаша, останутся 3 карандаша. Если раздавать по 7 карандашей, не хватит 33 карандашей. Во всех случаях детей и карандашей одно и то же количество. Сколько детей и сколько карандашей?
Изменение нормы на одного ребёнка: 7 − 4 = 3 карандаша. Остаток вместе с нехваткой: 3 + 33 = 36 карандашей. Поэтому детей 36 / 3 = 12. Карандашей 4 × 12 + 3 = 51.
Проверим не только равенство, но и смысл обоих условий. Если дать двенадцати детям по 4 карандаша, понадобится 48 и останется 51 − 48 = 3. Если дать по 7, понадобится 84 и не хватит 84 − 51 = 33.
Ответ: 12 детей и 51 карандаш.
Восемь задач для самостоятельного решения
В каждой задаче сначала найдите число детей, затем — общее число карандашей. После вычислений проверьте полученный ответ по обоим вариантам раздачи.
- Если раздать каждому ребёнку по 5 карандашей, останутся 4 карандаша. Если раздавать по 8 карандашей, не хватит 35 карандашей. Во всех случаях детей и карандашей одно и то же количество. Сколько детей и сколько карандашей?
- Если раздать каждому ребёнку по 2 карандаша, останутся 5 карандашей. Если раздавать по 5 карандашей, не хватит 37 карандашей. Во всех случаях детей и карандашей одно и то же количество. Сколько детей и сколько карандашей?
- Если раздать каждому ребёнку по 3 карандаша, останутся 6 карандашей. Если раздавать по 6 карандашей, не хватит 39 карандашей. Во всех случаях детей и карандашей одно и то же количество. Сколько детей и сколько карандашей?
- Если раздать каждому ребёнку по 4 карандаша, останутся 7 карандашей. Если раздавать по 7 карандашей, не хватит 41 карандаша. Во всех случаях детей и карандашей одно и то же количество. Сколько детей и сколько карандашей?
- Если раздать каждому ребёнку по 5 карандашей, останутся 8 карандашей. Если раздавать по 8 карандашей, не хватит 43 карандашей. Во всех случаях детей и карандашей одно и то же количество. Сколько детей и сколько карандашей?
- Если раздать каждому ребёнку по 2 карандаша, останутся 9 карандашей. Если раздавать по 5 карандашей, не хватит 45 карандашей. Во всех случаях детей и карандашей одно и то же количество. Сколько детей и сколько карандашей?
- Если раздать каждому ребёнку по 3 карандаша, останутся 10 карандашей. Если раздавать по 6 карандашей, не хватит 47 карандашей. Во всех случаях детей и карандашей одно и то же количество. Сколько детей и сколько карандашей?
- Если раздать каждому ребёнку по 4 карандаша, останутся 11 карандашей. Если раздавать по 7 карандашей, не хватит 49 карандашей. Во всех случаях детей и карандашей одно и то же количество. Сколько детей и сколько карандашей?
Ответы: число детей, число карандашей, проверка
1. Детей (4 + 35) / (8 − 5) = 39 / 3 = 13. Карандашей 5 × 13 + 4 = 69. Проверка по второму условию: 8 × 13 − 35 = 69. Ответ: 13 детей и 69 карандашей.
2. Детей (5 + 37) / (5 − 2) = 42 / 3 = 14. Карандашей 2 × 14 + 5 = 33. Проверка: 5 × 14 − 37 = 33. Ответ: 14 детей и 33 карандаша.
3. Детей (6 + 39) / (6 − 3) = 45 / 3 = 15. Карандашей 3 × 15 + 6 = 51. Проверка: 6 × 15 − 39 = 51. Ответ: 15 детей и 51 карандаш.
4. Детей (7 + 41) / (7 − 4) = 48 / 3 = 16. Карандашей 4 × 16 + 7 = 71. Проверка: 7 × 16 − 41 = 71. Ответ: 16 детей и 71 карандаш.
5. Детей (8 + 43) / (8 − 5) = 51 / 3 = 17. Карандашей 5 × 17 + 8 = 93. Проверка: 8 × 17 − 43 = 93. Ответ: 17 детей и 93 карандаша.
6. Детей (9 + 45) / (5 − 2) = 54 / 3 = 18. Карандашей 2 × 18 + 9 = 45. Проверка: 5 × 18 − 45 = 45. Ответ: 18 детей и 45 карандашей.
7. Детей (10 + 47) / (6 − 3) = 57 / 3 = 19. Карандашей 3 × 19 + 10 = 67. Проверка: 6 × 19 − 47 = 67. Ответ: 19 детей и 67 карандашей.
8. Детей (11 + 49) / (7 − 4) = 60 / 3 = 20. Карандашей 4 × 20 + 11 = 91. Проверка: 7 × 20 − 49 = 91. Ответ: 20 детей и 91 карандаш.
Как заметить ошибку в решении
Если после деления получилось количество карандашей, а не детей, проверьте, что именно вы делили. Сумму остатка и нехватки нужно разделить на разницу норм раздачи, а не на одну из норм. Сначала находится число получателей; общее количество предметов — следующим действием.
Если вышло отрицательное число карандашей, вероятно, перепутан знак у остатка или нехватки. При меньшей норме фактическое количество больше выданного: к a × n прибавляют r. При большей норме фактическое количество меньше требуемого: из b × n вычитают s.
Наконец, ответ нельзя считать проверенным только потому, что вычисления сошлись в одной строке. Подставьте найденное число детей в оба первоначальных условия: при первой норме должен получиться указанный остаток, при второй — указанная нехватка. Если ребёнку трудно выделить эти два условия из текста, начните с приёмов из статьи «Ребёнок не понимает условие задачи: как помочь разобраться»: здесь особенно важно не смешать то, что остаётся, с тем, чего не хватает.