В задачах на взвешивание важно заранее знать, чем отличается искомый предмет: он тяжелее или легче остальных. Чашечные весы без гирь показывают три возможных исхода: левая чаша ниже, правая ниже или чаши на одном уровне. Решение строят так, чтобы после каждого исхода оставалось понятно, что положить на весы дальше.
Все задачи ниже решаются на бумаге. Предметы одного вида выглядят одинаково; отличается только масса одного из них. Буквы нужны, чтобы не путаться в ходе рассуждения. После каждого взвешивания записывайте, какие предметы ещё могут быть искомыми, а какие уже исключены.
Первое взвешивание: три предмета
Есть три одинаковые с виду монеты А, Б и В. Одна тяжелее двух других. Как найти её за одно взвешивание?
Положите А на левую чашу, Б — на правую. Если левая чаша ниже, искомая монета А. Если правая ниже, это Б. Если чаши равны, А и Б имеют одинаковую массу, поэтому тяжелее В.
Здесь ответ готов только после разбора всех трёх исходов. Фраза «сравним две монеты» без равновесия оставляет один возможный случай нерассмотренным. Для самопроверки назовите заранее, что будет означать каждый результат, ещё до мысленного взвешивания.
Два взвешивания: найдите тяжёлую монету среди девяти
Есть девять монет с буквами А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И. Ровно одна тяжелее остальных, а восемь имеют одинаковую массу. Разрешены два взвешивания. Как определить тяжёлую монету?
Сначала сравните тройки А, Б, В и Г, Д, Е. Дальше возможны три ветви:
- Левая чаша ниже. Тяжёлая монета находится среди А, Б, В. Вторым взвешиванием сравните А и Б. Если левая чаша ниже, ответ А; если правая — Б; если равновесие — В.
- Правая чаша ниже. Искомая монета среди Г, Д, Е. Сравните Г и Д. При перевесе слева ответ Г, справа — Д, при равновесии — Е.
- Чаши равны. Все шесть взвешенных монет обычные. Искомая среди Ж, З, И. Сравните Ж и З. Перевес укажет на соответствующую монету, равновесие — на И.
Почему в первом действии сравнивают именно тройки? Каждый исход оставляет три кандидата. Второе взвешивание двух из них различает все три возможности. Если сразу сравнить одну монету с другой, при равновесии останется семь кандидатов, и одного взвешивания для них уже не хватит.
Попробуйте проверить решение на конкретном скрытом ответе. Пусть тяжелее Е. Первая правая тройка перевесит левую, поэтому останутся Г, Д, Е. Во второй раз Г и Д уравновесятся; значит, ответ Е. Та же запись должна сработать, если заранее мысленно назначить тяжёлой любую другую букву.
Та же схема, когда предмет легче
Теперь есть девять одинаковых с виду пуговиц А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И. Одна из них легче остальных. Нужно найти её за два взвешивания.
Сравните А, Б, В с Г, Д, Е. При равновесии лёгкая пуговица среди Ж, З, И. При перевесе правой чаши лёгкая находится в левой тройке; при перевесе левой чаши — в правой. Затем сравните две пуговицы из подозреваемой тройки. Более лёгкая из сравниваемых и есть ответ, а равновесие укажет на третью.
Например, если лёгкая пуговица — Б, левая тройка на первом взвешивании окажется легче. На втором сравнение А и Б покажет, что Б легче. Если лёгкая — В, первая левая тройка тоже будет легче, но А и Б уравновесятся. Это две разные ветви после одного и того же первого результата.
Не переносите слова «чаша ниже» из предыдущей задачи бездумно. Там искали тяжёлый предмет, здесь — лёгкий. Группы выбираются так же, но смысл наклона весов меняется.
Упражнение: восемь шариков
Восемь шариков А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З одинаковы на вид. Один тяжелее остальных. Найдите его не более чем за два взвешивания. Сначала запишите собственный первый ход, затем сравните с решением.
Решение. Сравните А, Б, В с Г, Д, Е. Если чаши равны, тяжёлый шарик — Ж или З: вторым взвешиванием сравните их, и более тяжёлый даст ответ. Если левая тройка тяжелее, сравните А и Б. Перевес укажет на А или Б, равновесие — на В. Если тяжелее правая тройка, сравните Г и Д. Перевес укажет на Г или Д, равновесие — на Е.
В ветви с равновесием первого взвешивания кандидатов всего два, поэтому второе действие проще, чем в остальных ветвях. Это допустимо: задача требует уложиться в два взвешивания, а не оставить после первого хода строго одинаковое число кандидатов.
Упражнение: отличающийся пакет
На столе шесть одинаковых закрытых пакетов А, Б, В, Г, Д, Е. Один тяжелее остальных, остальные весят одинаково. Как найти тяжёлый пакет за два взвешивания?
Решение. Сравните А, Б с В, Г.
Если левая чаша ниже, тяжёлый пакет — А или Б. Вторым взвешиванием сравните А и Б; более тяжёлый и есть ответ. Если правая чаша ниже, так же сравните В и Г. Если первое взвешивание дало равновесие, А, Б, В и Г обычные; сравните Д и Е. Один из них тяжелее по условию, поэтому второе взвешивание обязательно покажет перевес.
Здесь полезно проверить не только правильность каждого хода, но и то, почему весы не обязаны показывать все три исхода каждый раз. При сравнении Д и Е равновесие невозможно: тяжёлый пакет уже точно среди них. При проверке решения не нужно придумывать объяснение для исхода, который противоречит условию.
Как записать дерево решения без рисунка
Для письменной задачи достаточно трёх строк после каждого взвешивания: «левая ниже», «правая ниже», «равны». Напротив каждой строки выпишите оставшихся кандидатов. Затем для каждой строки отдельно запишите следующее сравнение. Такой текст заменяет схему и позволяет увидеть забытый исход.
Возьмём пример с шестью пакетами. После сравнения А, Б с В, Г получаются списки: А или Б; В или Г; Д или Е. Следующее действие внутри каждой ветви — сравнить два оставшихся пакета. Если в одной строке осталось больше вариантов, чем может различить следующее взвешивание, первый ход стоит поменять.
Этот способ особенно полезен, когда школьник предлагает сравнить заведомо неравные по числу предметов группы. Если слева три пакета, а справа два, наклон сам по себе ничего не говорит об отличающемся пакете: массы обычных пакетов тоже сложились по-разному. В приведённых задачах на чаши кладут одинаковое число предметов одного вида.
Что проверить в условии перед решением
Три коротких вопроса определяют весь ход задачи. Известно ли, тяжелее искомый предмет или легче? Сколько предметов отличаются? Сколько взвешиваний разрешено? Например, задача про девять тяжёлых монет выше опирается на точное условие «одна тяжелее». Если известно лишь «одна отличается по массе», направление перевеса нельзя толковать тем же способом: подозреваемая монета могла быть и лёгкой.
Полезно также отделять ход от ответа. «Разделить монеты на группы» — начало решения, но не итог. Итог должен назвать монету при каждом разрешённом исходе весов. Чтобы потренироваться искать такой полный разбор в других сюжетах, можно обратиться к статье «Нестандартные задачи для детей: как развить нестандартное мышление».
Частые вопросы
Можно ли менять местами предметы между взвешиваниями?
Да. Каждое следующее сравнение выбирают по результату предыдущего. В задаче про девять монет второе взвешивание для разных первых исходов проводится с разными монетами.
Нужно ли класть на весы все предметы?
Нет. Оставшиеся на столе предметы тоже участвуют в рассуждении. Если две сравниваемые тройки из девяти монет уравновесились, тяжёлая монета находится среди трёх неиспользованных.
Как проверить, что решение покрывает все случаи?
По очереди назначьте отличающимся каждый предмет из условия и мысленно пройдите его путь по записи. Для задачи про восемь шариков должно получиться восемь законченных путей, каждый — не длиннее двух взвешиваний.