В задачах на возраст главное — помнить, что за одно и то же число лет каждый человек становится старше на столько же лет. Поэтому разница возрастов двух людей сохраняется. Если сестре сейчас 12 лет, а брату 8, сестра старше на 4 года. Через 5 лет им будет 17 и 13 лет: разница по-прежнему 4 года.
Чтобы решить задачу, сначала найдите или запишите эту разницу. Затем проверьте, о каком моменте спрашивают: сейчас, несколько лет назад или через несколько лет. Сумма возрастов при переходе ко времени меняется, а разница остаётся той же. На этом держится большинство примеров ниже.
Начните с двух возрастов в один момент
Задача. Ире 14 лет, а Лене 9 лет. На сколько лет Ира старше Лены? Вычитаем 14 − 9 = 5 лет. Эту разницу можно перенести в прошлое и будущее, если речь идёт об одном и том же промежутке времени для обеих.
Три года назад Ире было 14 − 3 = 11 лет, Лене — 9 − 3 = 6 лет. Разница: 11 − 6 = 5 лет. Через четыре года Ире будет 18, Лене — 13; разница снова 5 лет.
Удобно записывать возраста парами: «сейчас: 14 и 9», «три года назад: 11 и 6». Если вычесть три года только из возраста Иры и сравнить её прежний возраст с нынешним возрастом Лены, получится сравнение разных моментов. Обычно именно так возникает неверный ответ на простой вопрос.
Если известен возраст одного и разница
Задача. Дима на 7 лет младше сестры. Сейчас Диме 10 лет. Сколько лет сестре? Она старше, поэтому 10 + 7 = 17 лет. Проверка: 17 − 10 = 7.
Теперь изменим вопрос, сохранив те же данные: сколько лет было сестре два года назад? Сначала найдём её нынешний возраст — 17 лет. Два года назад ей было 17 − 2 = 15 лет. Диме тогда было 8 лет; разница 15 − 8 = 7 подтверждает расчёт.
Слова «старше» и «младше» сами по себе не говорят, какое действие записать первым. Нужно поставить рядом известный возраст и выяснить, к кому относится прибавляемая разница. Если известно, сколько лет младшему, возраст старшего находят сложением. Если известно, сколько лет старшему, возраст младшего находят вычитанием.
Если известна сумма возрастов
Когда дана сумма, разница позволяет разделить её на две части. В этой задаче маме и сыну вместе 48 лет, мама старше сына на 24 года. Сколько лет каждому сейчас?
Представим, что сначала из общего числа убрали разницу 24 года. Тогда остаются две равные части: 48 − 24 = 24. Каждая часть равна 24 : 2 = 12 лет. Это возраст сына. Маме 12 + 24 = 36 лет.
Проверка должна выполнить оба условия: 36 + 12 = 48 и 36 − 12 = 24. Если проверить только сумму, пара 30 и 18 тоже даст 48, но разница будет уже 12 лет. Поэтому при двух условиях нужно проверять оба.
Можно сказать ребёнку так: у старшего есть такая же «часть лет», как у младшего, и ещё 24 года сверху. Мы убираем эти дополнительные 24 года, чтобы получить две одинаковые части. Для этой задачи рисунок не обязателен; достаточно подписать, откуда взялось деление на два.
Если сумма дана для будущего
Задача. Через 3 года двум братьям вместе будет 27 лет. Старший брат на 5 лет старше младшего. Сколько лет им сейчас?
Через три года разница тоже будет 5 лет. Сначала найдём их будущие возраста. Из будущей суммы убираем разницу: 27 − 5 = 22. Делим поровну: 22 : 2 = 11 лет младшему через три года. Старшему тогда будет 11 + 5 = 16 лет.
Теперь возвращаемся к сегодняшнему дню: младшему 11 − 3 = 8 лет, старшему 16 − 3 = 13 лет. Проверка: через три года им будет 11 и 16 лет, вместе 27; сейчас разница 13 − 8 = 5.
Здесь легко остановиться на числах 11 и 16 и забыть, что вопрос относится к настоящему. После каждого промежуточного ответа полезно подписать момент: «через три года» или «сейчас». Это важнее, чем форма записи вычисления.
Есть и другой короткий путь: за три года каждый прибавит по 3 года, поэтому общая сумма вырастет на 6 лет. Сейчас сумма равна 27 − 6 = 21 год. Убираем разницу: 21 − 5 = 16; делим на два и получаем 8 лет младшему, затем 13 лет старшему. Оба пути ведут к одному ответу.
Если известны возраста в разные моменты
Не всякая задача сразу даёт два возраста «сейчас». Пять лет назад Саше было 9 лет. Его сестра сейчас старше него на 4 года. Сколько сестре сейчас?
Сначала переведём возраст Саши к настоящему: 9 + 5 = 14 лет. Теперь прибавим разницу: 14 + 4 = 18 лет сестре. Проверка через прошлое: пять лет назад сестре было 13 лет; 13 − 9 = 4 года.
Порядок действий здесь помогает избежать сравнения «9 лет тогда» с «возрастом сестры сейчас». Приводите оба возраста к одному моменту, а потом применяйте разницу. Можно выбрать и прошлое: сестре пять лет назад было 9 + 4 = 13 лет, сейчас ей 13 + 5 = 18. Главное — ясно назвать момент в каждой строке.
Для общей привычки разбирать условие полезен материал «Как научить ребёнка решать задачи по математике в 3 классе». В задачах на возраст к этой привычке добавляется отдельный вопрос: «Эти числа относятся к одному и тому же времени?»
Почему «в два раза старше» требует внимания
Разница возрастов остаётся одной и той же, а отношение возрастов меняется. Пусть сейчас младшему 6 лет, старшему 12 лет. Старшему вдвое больше лет: 12 : 6 = 2. Через 6 лет им будет 12 и 18 лет. Разница остаётся 6 лет, но 18 : 12 = 1,5. Поэтому фразу «в два раза» нельзя переносить на другое время так же, как фразу «на 6 лет старше».
Задача. Сейчас брату 8 лет, сестре 14 лет. Через сколько лет сестре будет в полтора раза больше лет, чем брату? Разница всегда равна 14 − 8 = 6 лет. Когда возраст старшей будет в полтора раза больше, эти 6 лет составят половину возраста младшего. Значит, младшему тогда будет 6 × 2 = 12 лет, старшей — 12 + 6 = 18 лет. Брату сейчас 8, до 12 пройдёт 4 года. Проверка: через четыре года им будет 12 и 18 лет, а 18 : 12 = 1,5.
Такую задачу лучше решать после обычных примеров на разницу и сумму. Здесь слово «раз» описывает отношение возрастов в конкретный момент. Не нужно заменять его словами «на столько-то лет».
Попробуйте решить три задачи
1. Разница и прошлое. Сейчас Вере 15 лет, а Павлу 11. На сколько лет Вера была старше Павла три года назад? Нынешняя разница 15 − 11 = 4 года. Три года назад им было 12 и 8 лет; 12 − 8 = 4 года. Ответ не меняется, потому что из обоих возрастов вычли три.
2. Сумма и разница. Двум сёстрам вместе 25 лет, старшая на 7 лет старше младшей. Сколько лет каждой? 25 − 7 = 18, затем 18 : 2 = 9 лет младшей. Старшей 9 + 7 = 16 лет. Проверка: 9 + 16 = 25, 16 − 9 = 7.
3. Будущее время. Сейчас дедушке 62 года, внучке 10 лет. Сколько им будет вместе через 4 года? Дедушке будет 66, внучке 14. Вместе 80 лет. Можно проверить через нынешнюю сумму: 62 + 10 = 72 года; за четыре года сумма увеличится на 4 + 4 = 8 лет, значит, 72 + 8 = 80.
После решения попросите ребёнка назвать два условия, которые подтвердились. В первом упражнении это два возраста три года назад и разница. Во втором — сумма и разница. В третьем — будущие возраста и их сумма. Такая проверка показывает, отвечает ли вычисление именно на поставленный вопрос.
Частые вопросы
Почему сумма возрастов через год увеличится на два года?
Если в задаче два человека, каждый станет старше на год. К возрасту первого прибавится 1 и к возрасту второго прибавится 1; общая сумма вырастет на 2 года. Для трёх человек за тот же год сумма увеличится на 3 года.
Что делать, если известна только разница возрастов?
Одной разницы недостаточно, чтобы узнать оба точных возраста. Пара 8 и 12 лет и пара 20 и 24 года имеют одинаковую разницу — 4 года. Нужен ещё один факт, например возраст одного человека или сумма возрастов.
Можно ли сначала находить возраст старшего в задаче на сумму?
Да, если так удобнее. Когда сумма 48 лет, а разница 24 года, возраст старшего равен (48 + 24) : 2 = 36 лет. Затем возраст младшего равен 48 − 36 = 12 лет. Проверка остаётся той же: сумма 48, разница 24.
Нужно ли учитывать дни рождения?
В школьной задаче решайте по данным её условия. Если сказано, что через три года каждому прибавится три года, используйте это. Для вопроса о точном возрасте на конкретную календарную дату понадобятся даты рождения; без них такой ответ нельзя определить однозначно.