При постоянном ускорении скорость и координату находят по двум основным уравнениям: vₓ = v₀ₓ + aₓt и x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2. Здесь все величины относятся к одной выбранной оси, а t отсчитывают от начального момента. Ускорение может быть отрицательным: его знак указывает направление изменения скорости, но сам по себе ещё не говорит, замедляется ли тело.
Чтобы решить задачу, выпишите начальную координату x₀, начальную проекцию скорости v₀ₓ и проекцию ускорения aₓ вместе со знаками. Затем определите, что требуется: скорость в момент времени, координата, время остановки или изменение координаты. Уравнения для постоянного ускорения приведены в учебнике OpenStax и в разделе «Открытой физики» о равноускоренном движении.
Установите направление и начальный момент
Выберите положительное направление оси и сохраняйте его в решении. Если тело вначале движется по оси, v₀ₓ положительна; если против оси — отрицательна. Ускорение записывают по тому же правилу: оно положительно, когда направлено вдоль положительной оси, и отрицательно, когда направлено против неё.
При t = 0 координата равна x₀, а скорость — v₀ₓ. Подстановка нуля в оба уравнения сразу проверяет, верно ли они переписаны: x(0) = x₀ и vₓ(0) = v₀ₓ. Если начало рассматриваемого участка приходится на момент t₀, вместо t в формулах используют длительность t − t₀. Например, скорость на таком участке записывают vₓ = vₓ(t₀) + aₓ(t − t₀).
Единицы тоже дают быструю проверку. Координату и перемещение выражают в метрах, скорость — в метрах в секунду, ускорение — в метрах на секунду в квадрате, время — в секундах. Тогда aₓt имеет единицу скорости, а aₓt²/2 — единицу длины. Если нужен базовый смысл отношения пути и времени, его можно освежить в статье о скорости; в уравнениях ниже дополнительно важно направление вдоль оси.
Прочитайте готовое уравнение координаты
Пусть x = −2 + 4t + 1,5t², где x дано в метрах, а t — в секундах. Сравните запись с x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2. Получаем x₀ = −2 м и v₀ₓ = 4 м/с. Коэффициент при t² равен половине ускорения: aₓ/2 = 1,5 м/с², значит, aₓ = 3 м/с².
Через 4 с скорость равна vₓ = 4 + 3 · 4 = 16 м/с. Координата в тот же момент: x = −2 + 4 · 4 + 1,5 · 4² = −2 + 16 + 24 = 38 м. Изменение координаты за четыре секунды равно Δx = 38 − (−2) = 40 м. Получить его можно и без x₀: Δx = v₀ₓt + aₓt²/2 = 4 · 4 + 3 · 4²/2 = 40 м.
На всём рассматриваемом интервале скорость положительна и растёт, поэтому тело не меняет направления. Его путь за 4 с тоже равен 40 м. Здесь совпадение пути и перемещения связано с конкретным движением, а не с любым уравнением, содержащим t².
Частая ошибка при чтении записи x = x₀ + At + Bt² — назвать B ускорением. Сравнение с основной формулой показывает: начальная скорость равна A, ускорение равно 2B. Для нашего примера B = 1,5, а ускорение 3 м/с². Подстановка этого числа в уравнение скорости подтверждает результат.
Найдите остановку при торможении
Рассмотрим условие: начальная скорость вдоль положительной оси 12 м/с, постоянное ускорение −3 м/с² действует до остановки. Здесь скорость и ускорение направлены противоположно, поэтому модуль скорости уменьшается. В момент остановки проекция скорости равна нулю: 0 = 12 − 3t. Отсюда t = 4 с.
Изменение координаты до остановки найдём по времени: Δx = 12 · 4 + (−3) · 4²/2 = 48 − 24 = 24 м. Поскольку до остановки тело двигалось только в положительном направлении, путь на этом участке также равен 24 м.
Есть и проверка через среднюю скорость для постоянного ускорения: Δx = (v₀ₓ + vₓ)t/2. Подстановка даёт (12 + 0) · 4/2 = 24 м. Эта запись удобна, когда известны начальная и конечная скорости вместе со временем. Её нельзя переносить на движение с произвольно меняющимся ускорением только потому, что известны две скорости.
Если время в условии отсутствует, пригодится уравнение vₓ² = v₀ₓ² + 2aₓΔx. Для нашего участка оно даёт 0² = 12² + 2 · (−3) · 24, то есть 0 = 144 − 144. Но при поиске скорости по её квадрату нужно помнить: одно значение vₓ² само по себе не определяет направление. Знак скорости выбирают из условия и этапа движения, а не из привычки брать положительный корень.
Формулировка «до остановки» ограничивает модель четырьмя секундами. Продолжать то же уравнение после t = 4 с в задаче о торможении транспорта нельзя без нового условия о дальнейшем движении. Математическая формула при сохранении отрицательного ускорения затем дала бы отрицательную скорость, но реальная остановка сама по себе не задаёт обратный ход.
Различайте отрицательное ускорение и замедление
Знак aₓ сообщает, куда направлено ускорение относительно выбранной оси. Для оценки быстроты нужно сравнить знаки vₓ и aₓ в рассматриваемый момент. Когда они одинаковы, модуль скорости растёт. Когда противоположны, модуль скорости уменьшается до нуля.
Например, при vₓ = −5 м/с и aₓ = −2 м/с² тело движется против положительной оси и ускоряется в ту же сторону. Через секунду vₓ = −7 м/с: число стало меньше, но модуль скорости вырос с 5 до 7 м/с. Называть любое отрицательное ускорение торможением было бы ошибкой.
При vₓ = 5 м/с и aₓ = −2 м/с² направления противоположны. Через секунду vₓ = 3 м/с, модуль скорости уменьшился. Если ускорение продолжит действовать, на этом примере скорость станет нулевой через 2,5 с. Дальнейшее движение нужно трактовать по условию: абстрактная точка при неизменном ускорении развернётся, а задача, ограниченная остановкой, на ней закончится.
Посчитайте путь при развороте
Пусть для абстрактной точки задано x = 6t − 2t², где координата измеряется в метрах, время — в секундах, а постоянное ускорение действует все 4 с. Начальная координата x₀ = 0, начальная скорость v₀ₓ = 6 м/с, ускорение aₓ = −4 м/с². Скорость в любой момент этого интервала: vₓ = 6 − 4t.
Точка меняет направление, когда vₓ = 0. Решаем 6 − 4t = 0 и получаем t = 1,5 с. В этот момент x = 6 · 1,5 − 2 · 1,5² = 9 − 4,5 = 4,5 м. До разворота точка прошла 4,5 м в положительном направлении.
Через 4 с координата x = 6 · 4 − 2 · 4² = 24 − 32 = −8 м. От точки разворота 4,5 м до конечной точки −8 м она прошла ещё 12,5 м. Полный путь равен 4,5 + 12,5 = 17 м. Перемещение же равно конечной координате минус начальная: Δx = −8 − 0 = −8 м. Его модуль — 8 м, поэтому запись «путь 8 м» потеряла бы часть движения до разворота.
Дополнительная проверка показывает, когда точка вернулась к началу оси: 6t − 2t² = 0. Из равенства 2t(3 − t) = 0 получаются два момента: t = 0 — старт и t = 3 с — возвращение. В момент возвращения vₓ = 6 − 4 · 3 = −6 м/с. Нулевая координата снова не означает остановку: точка пересекает начало оси на обратном пути.
Для задач с разворотом полезно придерживаться одного порядка: сначала найти момент vₓ = 0, затем координату в этот момент, потом конечную координату. Путь складывают из длин участков до и после разворота. Так можно проверить ответ без сложного чертежа и не спутать путь с изменением координаты.