Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно 1. Например, 2 и 1/2: 2 × 1/2 = 1. Чтобы найти число, обратное дроби 3/5, поменяйте её числитель и знаменатель местами. Получится 5/3, и проверка даст 3/5 × 5/3 = 1.
Смысл правила в проверке произведением, а не в том, как выглядит пара. Для целого числа, смешанного числа и отрицательной дроби запись будет разной, но вопрос один: «Если перемножить эти числа, получится 1?»
Почему числитель и знаменатель меняются местами
Возьмём дробь 4/7. Нужно подобрать к ней такое число, чтобы произведение стало единицей. Если умножить 4/7 на 7/4, получим (4 × 7) / (7 × 4), то есть 28/28 = 1. Поэтому 7/4 обратно числу 4/7.
То же происходит с любой дробью, у которой числитель и знаменатель не равны нулю: для 2/9 обратная дробь — 9/2, поскольку 2/9 × 9/2 = 18/18 = 1. Для 11/6 — дробь 6/11, потому что 11/6 × 6/11 = 66/66 = 1.
В этой проверке дробь не «отменяется» сама по себе. При умножении равными становятся числитель и знаменатель результата. Именно поэтому получается 1. Если ребёнок сомневается, можно начать с чисел поменьше: 1/3 × 3 = 3/3 = 1.
У целого числа тоже есть обратная пара
Целое число можно записать дробью со знаменателем 1. Например, 5 = 5/1. После перестановки числителя и знаменателя получается 1/5. Проверяем: 5 × 1/5 = 5/5 = 1.
По тому же правилу число, обратное 12, — 1/12. А обратное числу 1 — снова 1, ведь 1 × 1 = 1. Не нужно искать для единицы особую дробь: она уже составляет пару сама с собой.
Иногда смешивают выражения «обратное число» и «число с обратным знаком». Для 5 число 1/5 — обратное, а −5 — противоположное. Проверки разные: 5 × 1/5 = 1, но 5 + (−5) = 0.
Смешанное число сначала превратите в неправильную дробь
Смешанное число 2 1/3 состоит из двух целых и одной трети. Для поиска обратного числа сначала запишем его неправильной дробью: 2 1/3 = 7/3, потому что 2 × 3 + 1 = 7. Теперь меняем местами числитель и знаменатель: обратное число — 3/7.
Проверка: 7/3 × 3/7 = 21/21 = 1. Если просто поменять местами числа «2» и «1/3» в смешанной записи, понятной дроби не получится. Перевод в неправильную дробь нужен, чтобы у числа появились один числитель и один знаменатель.
Ещё пример: 1 2/5 = 7/5, так как 1 × 5 + 2 = 7. Обратное число — 5/7. Проверка: 7/5 × 5/7 = 35/35 = 1.
Если при переводе получилась дробь 9/4, не требуется сначала выделять целую часть у обратной дроби. Достаточно записать 4/9 и проверить: 9/4 × 4/9 = 1.
Что меняется у отрицательных чисел
Произведение двух отрицательных чисел положительное. Поэтому у отрицательного числа обратное тоже отрицательное. Для −3/8 обратным будет −8/3: (−3/8) × (−8/3) = 24/24 = 1.
У числа −4 обратное — −1/4. Проверка: (−4) × (−1/4) = 1. Если потерять минус и взять 1/4, произведение будет −1. Такая проверка помогает заметить ошибку сразу.
Для сравнения возьмём число −3/8. Противоположное ему число — 3/8: вместе они дают ноль, −3/8 + 3/8 = 0. Обратное — −8/3: при умножении получается единица. Одинаковое слово «пара» здесь скрывает две разные связи, поэтому лучше каждый раз называть действие.
Почему у нуля нет обратного числа
Для нуля пришлось бы найти число, которое при умножении на 0 даст 1. Но 0, умноженный на любое число, даёт 0. Значит, обратного числа для нуля нет.
То же видно из правила с дробью: запись 0/1 обозначает ноль, а после перестановки получилась бы 1/0. Такая запись не задаёт число, поскольку делить на ноль нельзя. Поэтому правило «поменять числитель и знаменатель» применяют только тогда, когда исходное число не равно нулю.
У единицы ситуация иная: обратное число существует и совпадает с ней самой. Эти два случая полезно рассматривать отдельно, а не запоминать как общее исключение для «особых чисел».
Десятичную дробь удобно сначала записать обыкновенной
Найдём число, обратное 0,2. Запишем 0,2 как 2/10, сократим до 1/5. Обратное к 1/5 число — 5. Проверка: 0,2 × 5 = 1.
Для 0,75 получаем 75/100 = 3/4. Значит, обратное число — 4/3. Проверка: 0,75 × 4/3 = 3/4 × 4/3 = 1. Обратное число не обязано быть десятичной дробью, даже если исходное записано десятичной.
Если переход от десятичной записи к обыкновенной пока вызывает затруднение, его можно отдельно повторить по статье «Как объяснить ребёнку десятичные дроби». Для нашей задачи важно получить дробь, с которой удобно проверить произведение.
Как распознать неверную пару
Есть простой способ: умножьте предложенные числа. Если ответ отличается от 1, пара не взаимно обратная.
Например, для 3/4 иногда предлагают 3/4: числитель и знаменатель не поменяли местами. Произведение 3/4 × 3/4 = 9/16, а не 1. Правильная пара — 4/3, поскольку 3/4 × 4/3 = 1.
Для 6 предлагают −1/6, смешивая обратное и противоположное по знаку. Проверка даёт 6 × (−1/6) = −1. Обратное к 6 число — 1/6. А для −6, напротив, нужна дробь −1/6: (−6) × (−1/6) = 1.
Ещё одна ошибка — обратить только дробную часть смешанного числа. У 1 1/2 нельзя взять 2/1 в качестве обратного: 1 1/2 = 3/2, значит, обратное число — 2/3. Проверка: 3/2 × 2/3 = 1.
Небольшая проверка на разных записях
Найдите обратное число, затем сравните с разбором.
К числу 7/10. Меняем числитель и знаменатель: 10/7. Проверка: 7/10 × 10/7 = 70/70 = 1.
К числу 9. Записываем 9/1 и получаем 1/9. Проверка: 9 × 1/9 = 1.
К числу 3 1/4. Сначала 3 1/4 = 13/4, потому что 3 × 4 + 1 = 13. Обратное число — 4/13. Проверка: 13/4 × 4/13 = 1.
К числу −2/5. Обратное число — −5/2. Проверка: (−2/5) × (−5/2) = 10/10 = 1.
К числу 0,5. Это 1/2, значит, обратное число — 2. Проверка: 0,5 × 2 = 1.
Полезно менять порядок вопросов: иногда дайте число и попросите найти пару, а иногда покажите два числа и попросите проверить, взаимно ли они обратные. Во втором случае нельзя полагаться только на внешний вид: решает произведение.
Частые вопросы
Может ли обратное число быть больше исходного?
Да. Например, к 1/4 обратное число — 4. Возможна и обратная картина: к 4 обратное число — 1/4. Размер числа не определяет, подходит ли пара; это показывает произведение.
У дроби 2/4 обратное число — 4/2 или 2?
Обе записи обозначают одно и то же число: 4/2 = 2. Проверка: 2/4 × 4/2 = 1. Дробь можно сначала сократить до 1/2 и получить обратное число 2.
Как быстро отличить обратное число от противоположного?
Назовите нужное действие. Для обратных чисел произведение равно 1; для противоположных сумма равна 0. Например, у 8 обратное число 1/8, а противоположное −8.
Бывает ли одно число обратным сразу к двум разным числам?
Нет. Если для некоторого ненулевого числа найдена обратная пара, её значение определяется условием «произведение равно 1». Разные записи вроде 2/4 и 1/2 могут выглядеть как два числа, но обозначают одно и то же значение.