В задачах на части несколько количеств сравнивают через одинаковые доли. Если одна группа составляет 2 части, а другая — 3 части, всего в них 5 одинаковых частей. Зная общее количество, разделите его на 5: так найдёте размер одной части, а затем — каждой группы.
Например, в двух коробках 30 карандашей. В первой коробке 2 одинаковые части, во второй — 3. Одна часть равна 30 : (2 + 3) = 6 карандашам. В первой коробке 2 × 6 = 12 карандашей, во второй 3 × 6 = 18. Проверка: 12 + 18 = 30, а отношение количеств действительно 2 к 3.
Что означает «одна часть»
Часть в такой задаче — условная мерка, одинаковая для сравниваемых количеств. Она может оказаться равной 4 книгам, 7 метрам ленты или другому числу. До решения её размер неизвестен.
Если сказано, что у Маши 2 части наклеек, а у Ильи 4 части, нельзя считать, что у Маши 2 наклейки. Это означает лишь, что количество Ильи вдвое больше количества Маши. Например, при размере части 5 наклеек у Маши будет 10, у Ильи — 20; при размере части 8 — соответственно 16 и 32. Чтобы выбрать единственный ответ, нужно ещё одно данное: сумма, разность или количество одной из групп.
Полезно записывать условие коротко: «Маша — 2 части, Илья — 4 части». Рядом оставьте вопрос: «Сколько наклеек у каждого?» Такая запись сохраняет главное соотношение и не подталкивает ребёнка преждевременно умножать или делить данные числа.
Части должны относиться к одной и той же мерке. Если в условии одна группа разделена на трети, а другая — на четверти своего собственного количества, это уже не запись «2 части и 4 части» с общей меркой. Сначала выясните, что именно делят и что сравнивают.
Когда известна общая сумма
В задачах с суммой все части складываются. Затем общую сумму делят на число частей.
Условие: для школьной выставки подготовили 56 работ. Рисунки составляют 3 части, поделки — 4 такие же части. Сколько рисунков и поделок подготовили?
Всего частей 3 + 4 = 7. Одна часть равна 56 : 7 = 8 работ. Рисунков 3 × 8 = 24, поделок 4 × 8 = 32. Проверка двумя способами: 24 + 32 = 56; 24 : 3 = 8 и 32 : 4 = 8. Значит, обе группы действительно составлены из одинаковых частей.
Можно представить это без рисунка: семь одинаковых стопок по восемь работ. Три стопки относятся к рисункам, четыре — к поделкам. Такое представление помогает понять, почему 56 делят именно на 7, а не на 3 или 4.
Если групп три, порядок тот же. В наборе 72 детали: красные занимают 2 части, синие — 3, зелёные — 4. Всего 2 + 3 + 4 = 9 частей. Одна часть — 72 : 9 = 8 деталей. Тогда красных 16, синих 24, зелёных 32. Сумма 16 + 24 + 32 = 72 подтверждает ответ.
Главное в этом типе задачи — не потерять ни одну группу при подсчёте всех частей. Если в условии упомянуты четыре цвета, а в записи оказались только три, деление покажет неверный размер части даже при правильной арифметике.
Когда известна разность
Если в условии сказано, на сколько одна группа больше другой, сначала найдите разницу в числе частей. Именно этой разнице соответствует известное количество.
Условие: в большой коробке лент в 5 одинаковых частях, в маленькой — в 2 таких же частях. В большой коробке на 21 ленту больше. Сколько лент в каждой коробке?
Большая коробка содержит на 5 − 2 = 3 части больше. Эти 3 части равны 21 ленте. Одна часть равна 21 : 3 = 7 лентам. В большой коробке 5 × 7 = 35 лент, в маленькой 2 × 7 = 14 лент. Проверка: 35 − 14 = 21.
Сравните эту задачу с задачей про сумму. Там известное число относилось ко всем частям вместе, поэтому мы их складывали. Здесь 21 относится только к «лишним» частям большой коробки, поэтому мы вычитали число частей. Это решение зависит от смысла данного числа, а не от слова «больше» само по себе.
Если после вычисления размер одной части получился дробным, это не всегда ошибка: в задачах про длину или массу часть может быть дробной. Но для целого количества лент стоит ещё раз проверить запись и действия. В нашем примере одна часть равна 7 целым лентам, ответ согласуется с предметами.
Когда известно количество одной группы
Иногда сумма и разность не нужны: размер одной части находится по известной группе. Потом его используют для остальных.
Пусть у Веры 3 части открыток, а у Димы — 5 таких же частей. У Веры 18 открыток. Одна часть равна 18 : 3 = 6 открыткам. У Димы 5 × 6 = 30 открыток. Проверка: 18 : 3 = 30 : 5 = 6.
Здесь нельзя делить 18 на 3 + 5: число 18 описывает только открытки Веры, а не все открытки вместе. Прежде чем выполнять действие, соедините каждое известное число с тем, что оно обозначает: «18 открыток — это 3 части». Такое простое предложение часто подсказывает первое действие.
Если вопрос спрашивает общее количество, после нахождения группы Димы понадобится ещё одно действие: 18 + 30 = 48 открыток. Не останавливайтесь на числе 30 только потому, что нашли неизвестную группу: перечитайте вопрос.
Похожий приём используют, когда требуется восстановить целое по известной его части. Если именно этот шаг вызывает трудность, поможет материал «Нахождение числа по его части: как решить задачу».
Составьте короткую запись без лишней схемы
Для задачи на части достаточно трёх строк: что сравниваем, сколько частей у каждого и чему равна известная сумма, разность или одна группа. Например:
- Первая полка — 2 части.
- Вторая полка — 5 таких же частей.
- Вместе — 42 книги.
После записи произнесите: «Сорок две книги — это семь частей». Дальше решение следует из этой фразы: 42 : 7 = 6 книг в одной части; на первой полке 12, на второй 30. Проверка: 12 + 30 = 42.
Не каждый ребёнок сразу видит, что части одинаковые. Можно разложить одинаковые по размеру бумажные полоски: две полоски для первой полки и пять для второй. Полоски показывают отношение количеств; писать на них конкретное число книг нужно только после деления 42 на 7. Иначе наглядность превратится в подсказанный ответ.
Когда условие длинное, выпишите только данные, которые меняют решение. Цвет полок или имя хозяина книг не участвуют в вычислении. Но слова «вместе», «на столько-то больше» и «в одной группе» сохраняйте: они определяют, сколько частей соответствует известному числу. Для тренировки выделения вопроса и данных можно обратиться к статье «Как научить ребёнка решать задачи по математике в 3 классе».
Проверьте ответ по двум условиям
Правильная арифметика ещё не гарантирует, что решена нужная задача. После вычислений верните ответы в исходное условие и проверьте оба его ограничения.
Для задачи с суммой проверьте сумму количеств и одинаковый размер части. Например, ответ «12 и 30 книг» подходит условию «2 и 5 частей, всего 42»: 12 + 30 = 42, 12 : 2 = 6, 30 : 5 = 6.
Для задачи с разностью проверьте разницу количеств и тот же размер части. Ответ «35 и 14 лент» подходит условию «5 и 2 части, разница 21»: 35 − 14 = 21, 35 : 5 = 7, 14 : 2 = 7.
Если совпало только одно условие, ищите ошибку. Например, числа 20 и 22 дают сумму 42, но не соответствуют отношению 2 к 5. Проверка только сложением такой ответ пропустит. А числа 10 и 25 соответствуют отношению 2 к 5, но их сумма равна 35, а не 42.
Частая ошибка — поменять группы местами в ответе. Если первой полке соответствуют 2 части, на ней должно быть меньше книг, чем на второй с 5 частями. Указывайте рядом с каждым числом название группы, а не только пару ответов.
Решите три небольшие задачи
1. Сумма. Для украшения сделали 45 бумажных звёзд двух цветов. Жёлтые составляют 4 части, голубые — 5 таких же частей. Всего 4 + 5 = 9 частей, одна часть равна 45 : 9 = 5 звёздам. Жёлтых 20, голубых 25. Проверка: 20 + 25 = 45.
2. Разность. На длинной ленте отмечены 6 частей, на короткой — 2 такие же части. Длинная лента на 16 см длиннее. Разница составляет 6 − 2 = 4 части. Одна часть — 16 : 4 = 4 см. Длинная лента имеет длину 24 см, короткая — 8 см. Проверка: 24 − 8 = 16 см.
3. Известная группа. У Кати 4 части бусин, у Лены — 7 таких же частей. У Кати 28 бусин. Одна часть равна 28 : 4 = 7 бусинам. У Лены 49 бусин. Проверка: 28 : 4 = 49 : 7 = 7.
После каждой задачи полезно назвать, чему соответствовало известное число. В первой — всем девяти частям, во второй — четырём частям разницы, в третьей — четырём частям Кати. Это короткое объяснение важнее заученного набора действий: в новой задаче порядок может измениться.
Частые вопросы
Зачем в задаче на отношение используют равные части?
Иначе по их числу нельзя восстановить количества. Запись «2 части и 3 части» означает две и три копии одной мерки. Если мерки разные, нужно дополнительное объяснение, как они соотносятся.
Что делать, если общая сумма не делится на число частей нацело?
Посмотрите, что считают. Для длины или массы дробный размер части возможен. Если считают неделимые предметы, например карандаши, проверьте условие и вычисления: при данных «всего 31 карандаш, группы по 2 и 3 одинаковые части» целого числа карандашей в одной части не получится.
Можно ли решить задачу без рисунка?
Да. Короткая запись «2 части + 5 частей = 42 книги» уже показывает ход решения. Рисунок полезен, если пока непонятно, почему количество частей складывают или вычитают.
Как понять, достаточно ли данных?
Одного отношения «2 части и 5 частей» недостаточно: ему подходят многие пары чисел. Для однозначного ответа нужно ещё знать сумму, разность, размер одной группы или другое данное, по которому можно найти размер одной части.