Чтобы вычислять выражения с целыми числами, отдельно следите за действием и знаками чисел. При сложении разных знаков сравните модули, при вычитании замените его сложением противоположного числа, а при умножении и делении определите знак результата по знакам обоих чисел.
Ниже — четыре разбора и восемь заданий для самостоятельной работы. Во всех выражениях числа отвлечённые: единицы измерения не нужны. Скобки помогают увидеть знак числа; точка означает умножение, двоеточие — деление.
Как выбирать знак суммы и результата
Модуль числа — его величина без знака. При сложении чисел с одинаковыми знаками сложите модули и сохраните общий знак. При разных знаках и неравных модулях вычтите меньший модуль из большего и поставьте знак числа с большим модулем. Если модули равны, сумма равна нулю: например, −7 + 7 = 0.
Чтобы вычесть число, прибавьте противоположное ему. При умножении и делении одинаковые знаки дают положительный результат, разные — отрицательный. Делить на ноль нельзя. Общие правила действий с числами можно найти в учебнике OpenStax.
Важно смотреть именно на действие. Например, знак вычитания перед отрицательным числом позволяет заменить вычитание сложением противоположного числа. А знак умножения между двумя отрицательными числами указывает на другое правило: положительным будет произведение.
Четыре разбора сложения и вычитания
1. Сумма отрицательного и положительного числа
Вычислите −17 + (9).
У слагаемых разные знаки. Модуль отрицательного слагаемого больше: 17 больше 9. Вычитаем меньший модуль из большего: 17 − 9 = 8. Ставим знак того слагаемого, чей модуль больше:
−17 + (9) = −8.
Ошибка здесь — автоматически ставить плюс только потому, что одно из слагаемых положительное. Сначала нужно выяснить, какое из двух чисел имеет больший модуль.
2. Сумма двух отрицательных чисел
Вычислите −12 + (−8).
Оба слагаемых отрицательные, поэтому складываем их модули: 12 + 8 = 20. Общий знак сохраняется:
−12 + (−8) = −20.
Скобки вокруг второго числа показывают, что минус относится к самому числу. Это сложение отрицательного числа, а не отдельное вычитание, которое нужно выполнить после сложения.
3. Сумма положительного и отрицательного числа
Вычислите 23 + (−31).
Знаки различаются. Из большего модуля вычитаем меньший: 31 − 23 = 8. Больший модуль принадлежит отрицательному слагаемому, значит:
23 + (−31) = −8.
Порядок записи слагаемых не определяет знак ответа: здесь решает сравнение модулей. Не стоит выбирать знак первого числа только потому, что оно записано в начале.
4. Вычитание отрицательного числа
Вычислите −19 − (−7).
Заменяем вычитание числа −7 сложением противоположного числа 7. Затем складываем числа с разными знаками:
−19 − (−7) = −19 + (7) = −12.
После замены действия остаются отрицательное и положительное слагаемые. Их модули различаются на 12, а больший модуль у отрицательного числа, поэтому ответ отрицательный.
Восемь заданий на действия с целыми числами
Сначала выполните задания без подсказок. В каждом запишите не только результат, но и действие, с помощью которого получили его. Для вычитания удобно сначала показать замену на сложение; для умножения и деления — определить знак и величину результата.
- Вычислите 14 − (−11).
- Вычислите −6 − (13).
- Вычислите −8 · (7).
- Вычислите −9 · (−6).
- Вычислите 11 · (−4).
- Вычислите −72 : (8).
- Вычислите −84 : (−7).
- Вычислите 63 : (−9).
В первых двух заданиях обратите внимание на знак числа после вычитания: в одном случае оно отрицательное, в другом положительное. В следующих трёх заданиях действие уже другое — умножение. Последние три выражения содержат деление; его результат можно проверить обратным действием.
Не закрывайте знак числа пальцем или листом при вычислении: знак входит в запись числа и нужен для решения. Если промежуточный результат записан в скобках, оставляйте скобки до тех пор, пока не будет понятно следующее действие.
Ответы к восьми заданиям
- 25. Вычитаем отрицательное число, значит прибавляем противоположное: 14 − (−11) = 14 + (11) = 25.
- −19. Вычитание положительного числа заменяем сложением отрицательного: −6 − (13) = −6 + (−13) = −19.
- −56. Модули множителей дают 8 · 7 = 56. Знаки разные, поэтому −8 · (7) = −56.
- 54. Модули дают 9 · 6 = 54. Оба множителя отрицательные, поэтому −9 · (−6) = 54.
- −44. Модули дают 11 · 4 = 44. Знаки множителей разные, поэтому 11 · (−4) = −44.
- −9. Знаки делимого и делителя разные: −72 : (8) = −9. Проверка: −9 · (8) = −72.
- 12. Знаки одинаковые: −84 : (−7) = 12. Проверка: 12 · (−7) = −84.
- −7. Знаки разные: 63 : (−9) = −7. Проверка: −7 · (−9) = 63.
Если ответ отличается, найдите первое место, где расходятся записи. Ошибка в знаке после замены вычитания исправляется раньше, чем итоговая сумма. В заданиях на деление проверяйте не только модуль частного: при умножении частного на делитель должно получиться исходное число со своим знаком.
Если сначала нужно разобраться со смыслом минуса перед числом, поможет материал «Отрицательные числа: как объяснить ребёнку числа ниже нуля».