Объём куба находят по формуле V = a³, а площадь всей поверхности — по формуле S = 6a², где a — длина ребра. Если известен объём, сначала найдите положительное число, куб которого равен этому объёму.
В практикуме четыре примера на объём и восемь самостоятельных задач: на площадь поверхности и на поиск ребра по объёму. После условий приведены все ответы с вычислениями.
Формулы для ребра, объёма и поверхности
У куба шесть равных квадратных граней. Площадь одной грани равна a², поэтому площадь всех граней равна 6a². Объём равен a³. Эти формулы приведены в учебнике OpenStax.
Буквой a обозначаем длину ребра, V — объём, S — площадь всей поверхности. Если ребро дано в сантиметрах, площадь записываем в см², а объём — в см³.
При обратном расчёте нужно найти такое положительное a, чтобы a³ совпало с данным объёмом. После этого найденное ребро подставляют в формулу площади.
Если хочется вернуться к самому смыслу кубических единиц, поможет материал «Объём: как объяснить ребёнку кубики и пространство».
Четыре примера вычисления объёма
Ребро 2 см
Условие. Ребро куба 2 см. Найдите объём.
Подставляем длину ребра в V = a³:
V = 2³ = 2 · 2 · 2 = 8 см³.
Ответ: 8 см³.
Третья степень означает произведение трёх одинаковых множителей. Это не то же самое, что умножить длину ребра на 3.
Ребро 3 см
Условие. Ребро куба 3 см. Найдите объём.
Вычисляем:
V = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27 см³.
Ответ: 27 см³.
Сначала 3 · 3 = 9, затем 9 · 3 = 27. Записываем кубические, а не квадратные сантиметры: требуется объём.
Ребро 4 см
Условие. Ребро куба 4 см. Найдите объём.
Подставляем a = 4 см:
V = 4³ = 4 · 4 · 4 = 64 см³.
Ответ: 64 см³.
Промежуточное значение 4² равно 16. Для объёма нужно умножить его ещё на 4, получив 64.
Ребро 5 см
Условие. Ребро куба 5 см. Найдите объём.
Возводим длину ребра в третью степень:
V = 5³ = 5 · 5 · 5 = 125 см³.
Ответ: 125 см³.
Здесь 5² = 25, а 25 · 5 = 125. Число 25 пригодилось бы при вычислении площади одной грани, но само по себе не является объёмом.
Задачи: площадь всей поверхности по ребру
В каждом условии известна длина ребра. Найдите площадь всех шести граней и запишите ответ в см².
- Ребро куба 3 см. Найдите площадь всей поверхности.
- Ребро куба 4 см. Найдите площадь всей поверхности.
- Ребро куба 6 см. Найдите площадь всей поверхности.
- Ребро куба 7 см. Найдите площадь всей поверхности.
Задачи: ребро и площадь по объёму
Сначала найдите положительную длину ребра по заданному объёму. Затем вычислите площадь всей поверхности и укажите обе величины в ответе.
- Объём куба 8 см³. Найдите ребро и площадь всей поверхности.
- Объём куба 64 см³. Найдите ребро и площадь всей поверхности.
- Объём куба 125 см³. Найдите ребро и площадь всей поверхности.
- Объём куба 216 см³. Найдите ребро и площадь всей поверхности.
Ответы к задачам о поверхности и ребре
- 54 см². S = 6 · 3² = 6 · 9 = 54 см².
- 96 см². S = 6 · 4² = 6 · 16 = 96 см².
- 216 см². S = 6 · 6² = 6 · 36 = 216 см².
- 294 см². S = 6 · 7² = 6 · 49 = 294 см².
- a = 2 см; S = 24 см². Поскольку 2³ = 8, ребро равно 2 см. S = 6 · 2² = 24 см².
- a = 4 см; S = 96 см². Поскольку 4³ = 64, ребро равно 4 см. S = 6 · 4² = 96 см².
- a = 5 см; S = 150 см². Поскольку 5³ = 125, ребро равно 5 см. S = 6 · 5² = 150 см².
- a = 6 см; S = 216 см². Поскольку 6³ = 216, ребро равно 6 см. S = 6 · 6² = 216 см².
Как исправить ошибку со степенью или единицей
Если в задаче про поверхность получено только a², вычисление не закончено: это площадь одной грани. Для всей поверхности нужно учесть шесть граней. Так, при ребре 3 см одна грань имеет площадь 9 см², а вся поверхность — 54 см².
Другая ошибка — подставить объём вместо ребра в формулу площади. При объёме 64 см³ ребро равно 4 см, потому что 4³ = 64. Поэтому в формуле S = 6a² используется число 4, а не 64.
Проверяйте и единицы: длина ребра выражена в см, площадь — в см², объём — в см³. Числовые результаты в разных единицах нельзя считать одной и той же величиной, даже если они совпали.
Например, при ребре 6 см получаются объём 216 см³ и площадь 216 см². Одинаковые числа здесь обозначают разные величины.