Уравнение теплового баланса связывает тепло, которое отдало горячее тело, с теплом, которое получили холодное тело и, если это предусмотрено условием, сосуд. В простой задаче без потерь запись выглядит так: Qотд = Qпол. Чтобы её составить, нужно выяснить начальную температуру каждого участника, обозначить общую конечную температуру T и для каждого участника записать своё изменение температуры.
Для вещества с заданной удельной теплоёмкостью количество тепла рассчитывают как Q = cmΔT, где m — масса, c — удельная теплоёмкость, ΔT — изменение температуры. Если дана теплоёмкость целого предмета C, используют Q = CΔT. Эти соотношения и единицы приведены в учебном разделе OpenStax о температуре и теплоёмкости. Ниже разберём, как превратить условие задачи в уравнение и проверить полученное число.
Сначала определите, кто отдаёт тепло
В школьной задаче обычно сказано, что тела обмениваются теплом, потерь нет, а затем достигают одной температуры. Более тёплое тело при этом отдаёт тепло, более холодное получает. Если участвуют только они и их температуры различаются, конечная T должна лежать между начальными температурами. Это первая проверка будущего ответа.
Пусть горячая вода имеет температуру 65 °C, холодная — 15 °C. Тогда горячая остывает на 65 − T градусов, а холодная нагревается на T − 15 градусов. Обе разности положительны, когда 15 < T < 65. Для записи Qотд = Qпол удобно брать именно положительные величины:
- горячее тело: Qотд = cm(65 − T);
- холодное тело: Qпол = cm(T − 15).
Здесь у каждой воды своя масса. Одинаковая буква c допустима потому, что вещество одно и то же. Если бы вещества различались, их удельные теплоёмкости пришлось бы обозначить отдельно.
Температуру на термометре и её изменение легко спутать. Показание 65 °C — начальное состояние воды; величина 65 − T — то, на сколько градусов она остыла. Если затруднение именно в этом различии, поможет материал «Температура: как объяснить ребёнку показания термометра».
Подготовьте данные до составления уравнения
Массу в граммах переведите в килограммы, если c дана в Дж/(кг·°C). Например, 200 г — это 0,2 кг, а 300 г — 0,3 кг. Тогда произведение cmΔT даст джоули. Когда в условии дана теплоёмкость сосуда C в Дж/°C, массу сосуда для расчёта через C уже не ищут: произведение CΔT также измеряется в джоулях.
Для разности температур числовое значение в градусах Цельсия и кельвинах одинаково: охлаждение на 30 °C означает изменение на 30 K. Переводить каждое показание из °C в K для таких вычислений не требуется. При этом во всём решении нужно последовательно пользоваться одними и теми же единицами массы и тепла.
Перед записью уравнения полезно выписать отдельными строками, кто участвует в обмене. Достаточно названия, массы или полной теплоёмкости и начальной температуры. Не добавляйте сосуд автоматически: его вклад определяется условием. Если прямо сказано, что его теплоёмкостью пренебрегают, в уравнении останутся только смешиваемые вещества. Если теплоёмкость сосуда дана, проверьте, указана ли его начальная температура.
Задача 1. Смешали две порции воды
Условие. Смешали 200 г воды при 65 °C и 300 г воды при 15 °C. Удельная теплоёмкость воды c = 4200 Дж/(кг·°C). Потерь тепла нет, теплоёмкостью сосуда пренебрегают. Найдите конечную температуру.
Обозначим её T. Горячая порция отдаёт 0,2 × 4200 × (65 − T) Дж. Холодная получает 0,3 × 4200 × (T − 15) Дж. Приравниваем эти положительные количества тепла:
0,2 × 4200 × (65 − T) = 0,3 × 4200 × (T − 15).
Поскольку удельная теплоёмкость с обеих сторон одна и та же, разделим уравнение на 4200:
0,2(65 − T) = 0,3(T − 15).
Раскроем скобки: 13 − 0,2T = 0,3T − 4,5. Перенесём числа влево, члены с T вправо: 17,5 = 0,5T. Получаем T = 35 °C.
Проверим ответ в исходной записи. Горячая вода остыла на 30 °C и отдала 0,2 × 4200 × 30 = 25 200 Дж. Холодная нагрелась на 20 °C и получила 0,3 × 4200 × 20 = 25 200 Дж. Температура 35 °C находится между 15 и 65 °C, а количества тепла совпадают.
Простое среднее двух температур дало бы 40 °C, но оно не учитывает массы: холодной воды больше. Для двух порций одного вещества в этой модели можно получить сокращённую запись T = (m₁t₁ + m₂t₂)/(m₁ + m₂). Подстановка даёт (0,2 × 65 + 0,3 × 15)/(0,2 + 0,3) = 35 °C. Пользуйтесь такой записью только после проверки условий: одинаковая c, отсутствие других получателей тепла и потерь.
Задача 2. Сосуд тоже нагревается
Изменим предыдущее условие. Воду смешивают в сосуде с теплоёмкостью C = 100 Дж/°C. До смешивания сосуд имеет температуру 15 °C. Остальные данные те же; потерь тепла нет.
Теперь горячая вода отдаёт тепло двум участникам: холодной воде и сосуду. Для сосуда изменение температуры равно T − 15, потому что его начальная температура задана. Получаем:
0,2 × 4200 × (65 − T) = 0,3 × 4200 × (T − 15) + 100(T − 15).
Объединим два слагаемых справа, у которых одинаковая скобка:
840(65 − T) = (1260 + 100)(T − 15).
Раскроем скобки: 54 600 − 840T = 1360T − 20 400. Тогда 75 000 = 2200T, откуда T = 375/11 °C, или примерно 34,1 °C.
Проверить это решение можно без округления. За один и тот же прирост температуры холодные вода и сосуд вместе получают (1260 + 100)(T − 15) Дж. Подстановка T = 375/11 даёт тот же результат, что и 840(65 − T) для горячей воды. Конечная температура снова лежит между 15 и 65 °C.
Разница с первой задачей невелика, но её причина конкретна: часть отданного тепла получает сосуд. Если подставить прежние 35 °C, горячая вода отдаст 25 200 Дж, холодная получит 25 200 Дж, а сосуду ещё понадобятся 100 × 20 = 2000 Дж. Равенство нарушится. Поэтому вычёркивать сосуд из записи можно лишь тогда, когда условие позволяет пренебречь его теплоёмкостью.
Задача 3. Неизвестна удельная теплоёмкость
Условие. Образец массой 0,1 кг и температурой 80 °C поместили в воду массой 0,2 кг при 15 °C. Установилась температура 20 °C. Для воды задано c = 4200 Дж/(кг·°C). Потерь тепла нет, теплоёмкостью сосуда пренебрегают. Найдите удельную теплоёмкость образца.
Здесь конечную температуру уже дали. Обозначим неизвестную удельную теплоёмкость образца буквой cₒ. Образец остывает на 80 − 20 = 60 °C, вода нагревается на 20 − 15 = 5 °C. Составим баланс:
0,1 × cₒ × 60 = 0,2 × 4200 × 5.
Слева получаем 6cₒ, справа — 4200 Дж. Значит, cₒ = 4200/6 = 700 Дж/(кг·°C). Проверка тепла здесь особенно проста: 0,1 × 700 × 60 = 4200 Дж, столько же даёт расчёт для воды. Одного найденного числа недостаточно, чтобы уверенно назвать материал образца: задача просит определить величину в пределах заданной модели.
Обратите внимание на единицу ответа. Если неизвестна температура, результат записывают в °C. Если неизвестна удельная теплоёмкость, результат выражают в Дж/(кг·°C). Уравнение может быть составлено верно, но неверная единица сделает ответ неясным.
Как выбрать один из двух способов записи
В решённых задачах использованы положительные величины «отдано» и «получено». Есть и другой способ: записать для каждого участника величину cm(T − tнач) с её знаком и сложить все такие величины. Тогда для первой задачи получится:
0,2 × 4200 × (T − 65) + 0,3 × 4200 × (T − 15) = 0.
Первое слагаемое отрицательно: горячая вода охлаждается. Второе положительно: холодная нагревается. Решение снова даёт 35 °C. Для сосуда с полной теплоёмкостью вместо cm в соответствующем слагаемом будет C.
Выберите один способ для всего уравнения. Если слева стоит положительное Qотд = cm(tгор − T), не ставьте перед ним дополнительный минус за охлаждение. А если используете сумму изменений со знаками, не заменяйте отрицательное слагаемое его положительным модулем. Смысл обоих способов одинаков в принятой идеальной модели теплообмена; разные записи помогают тому, кому удобнее следить за направлением передачи тепла. Школьное изложение этой модели есть в материале НИЯУ МИФИ о тепловом балансе.
Проверка перед ответом
Пройдите по решению в таком порядке:
- Сверьте участников с условием. В задаче с сосудом он должен получить отдельное слагаемое; в задаче, где его теплоёмкостью пренебрегают, это слагаемое не нужно.
- Проверьте направление изменений. Для горячего тела в записи положительного отданного тепла подходит tгор − T, для холодного — T − tхол.
- Проверьте единицы. Граммы переведены в килограммы, если c записана на килограмм; обе части уравнения выражаются в джоулях.
- Подставьте ответ в баланс. Сравните рассчитанные количества тепла, а не только две стороны преобразованного уравнения.
- Оцените температуру. В задаче о двух телах без иных участников и потерь она должна лежать между начальными температурами. Если получилось больше самой горячей или меньше самой холодной, вернитесь к скобкам и арифметике.
Этот порядок относится к условиям, где нет фазового перехода, внешней работы и потерь, а теплоёмкости берутся постоянными. Если в задаче появляется таяние, кипение или явно указанные потери тепла, одной записи через cmΔT для всех участников уже недостаточно: условие требует других членов баланса.