Объём прямого кругового конуса равен трети произведения площади основания на высоту: V = πr²h / 3. По этой формуле можно найти и неизвестную высоту, и радиус, если остальные величины известны.
В практикуме четыре примера на объём и восемь самостоятельных задач. Для объёма сохраняем π, а для радиуса выбираем положительное значение.
Что означает каждая величина
Пусть r — радиус круглого основания, h — высота конуса, V — его объём. Высота идёт от вершины перпендикулярно плоскости основания; образующая соединяет вершину с точкой окружности основания и не заменяет высоту в формуле объёма.
Используем формулу из учебника OpenStax и выражения, полученные из неё:
- Объём: V = πr²h / 3.
- Высота: h = 3V / (πr²).
- Квадрат радиуса: r² = 3V / (πh).
Радиус — положительная длина. Найдя r², извлекаем положительный квадратный корень. При данных в сантиметрах радиус и высота выражаются в см, а объём — в см³. Если нужно сначала разобраться в смысле объёма, прочитайте статью «Объём: как объяснить ребёнку кубики и пространство».
Четыре примера на объём
Порядок вычисления один: возвести радиус в квадрат, умножить на высоту и разделить на три. Множитель π остаётся в точном ответе.
Пример 1
Условие. Прямой круговой конус: радиус основания 2 см, высота 9 см. Найдите объём с π.
Подставляем r = 2 и h = 9:
V = π · 2² · 9 / 3 = π · 4 · 3 = 12π см³.
Ответ: 12π см³.
Высота в условии уже известна; заменять её образующей не нужно.
Пример 2
Условие. Прямой круговой конус: радиус основания 3 см, высота 12 см. Найдите объём с π.
Квадрат радиуса равен 9, а 12 / 3 = 4:
V = π · 3² · 12 / 3 = π · 9 · 4 = 36π см³.
Ответ: 36π см³.
Пример 3
Условие. Прямой круговой конус: радиус основания 4 см, высота 6 см. Найдите объём с π.
Вычисляем 4² = 16 и делим произведение на три:
V = π · 4² · 6 / 3 = π · 16 · 2 = 32π см³.
Ответ: 32π см³.
Делить на три можно после умножения или, как здесь, сначала разделить высоту на три.
Пример 4
Условие. Прямой круговой конус: радиус основания 5 см, высота 15 см. Найдите объём с π.
Подставляем числа и упрощаем:
V = π · 5² · 15 / 3 = π · 25 · 5 = 125π см³.
Ответ: 125π см³.
Объём записан в кубических сантиметрах; π не заменено приближённым числом.
Задания: найдите высоту или радиус
В первых четырёх задачах выразите высоту через объём и радиус. В остальных сначала найдите квадрат радиуса, а затем сам радиус. Условия дают все необходимые величины.
- Прямой круговой конус имеет радиус 3 см и объём 24π см³. Найдите высоту.
- Прямой круговой конус имеет радиус 4 см и объём 48π см³. Найдите высоту.
- Прямой круговой конус имеет радиус 5 см и объём 50π см³. Найдите высоту.
- Прямой круговой конус имеет радиус 6 см и объём 84π см³. Найдите высоту.
- Прямой круговой конус: высота 12 см, объём 16π см³. Найдите радиус основания.
- Прямой круговой конус: высота 9 см, объём 27π см³. Найдите радиус основания.
- Прямой круговой конус: высота 15 см, объём 80π см³. Найдите радиус основания.
- Прямой круговой конус: высота 6 см, объём 50π см³. Найдите радиус основания.
Ответы и короткая проверка
- h = 3 · 24π / (π · 3²) = 72 / 9 = 8 см.
- h = 3 · 48π / (π · 4²) = 144 / 16 = 9 см.
- h = 3 · 50π / (π · 5²) = 150 / 25 = 6 см.
- h = 3 · 84π / (π · 6²) = 252 / 36 = 7 см.
- r² = 3 · 16π / (π · 12) = 4; r = 2 см, поскольку 2² = 4.
- r² = 3 · 27π / (π · 9) = 9; r = 3 см, поскольку 3² = 9.
- r² = 3 · 80π / (π · 15) = 16; r = 4 см, поскольку 4² = 16.
- r² = 3 · 50π / (π · 6) = 25; r = 5 см, поскольку 5² = 25.
При поиске высоты и радиуса π сокращается: оно есть и в данном объёме, и в знаменателе. Это не означает, что π можно убрать из ответа на задачу об объёме.
Как исправить распространённые ошибки
Пропущено деление на три. В формуле объёма конуса оно обязательно. Если в примере 1 получилось 36π см³, разделите это произведение на три: верный объём — 12π см³.
Вместо высоты подставлена образующая. Проверьте название величины в условии. Для формулы объёма нужна высота, перпендикулярная плоскости основания; образующая — другая величина.
За радиус принято значение r². В задаче 7 квадрат радиуса равен 16, но сам радиус равен 4 см. Число 16 остаётся промежуточным результатом, потому что 4 · 4 = 16. Отрицательное значение радиусом быть не может.
При выражении высоты потерялся множитель 3. Из V = πr²h / 3 сначала получаем 3V = πr²h. Поэтому для высоты нужно разделить 3V, а не V, на πr².
Неверно указана единица. Найденные высота и радиус — длины, их ответ записывается в сантиметрах. Объём конуса в условиях этого практикума выражается в кубических сантиметрах.