В задачах на массу, объём и плотность выбирайте формулу по тому, что требуется найти. Плотность равна массе, делённой на объём: ρ = m / V. Отсюда масса равна плотности, умноженной на объём: m = ρ × V; объём равен массе, делённой на плотность: V = m / ρ.
Главная трудность обычно не в вычислении, а в единицах. Если плотность дана в г/см³, объём для умножения нужен в см³, а масса получится в граммах. Если плотность дана в кг/м³, объём нужен в м³, а масса получится в килограммах. Перед подстановкой проверьте, согласованы ли данные.
Что означает плотность в условии
Плотность показывает, какая масса приходится на единицу объёма вещества. Запись «2 г/см³» читается так: каждый кубический сантиметр этого однородного вещества имеет массу 2 г. Поэтому образец объёмом 4 см³ будет иметь массу 2 × 4 = 8 г.
Не смешивайте массу и плотность. Два куска одного однородного материала могут иметь разную массу из-за размера, хотя плотность материала в условии у них одна. И наоборот, предметы одинакового объёма могут иметь разную массу, если сделаны из материалов с разной плотностью.
Если ребёнку трудно представить объём как место, которое занимает предмет, сначала можно разобрать «Объём: как объяснить ребёнку кубики и пространство». В задачах ниже объём уже дан или вычисляется, поэтому главное — понять его роль в формуле.
Шаг 1. Выпишите известные величины и вопрос
Рассмотрим условие: масса однородного бруска 54 г, объём 20 см³. Найдите плотность.
Запись будет короткой: m = 54 г, V = 20 см³, ρ — неизвестна. Искомая величина стоит слева в формуле ρ = m / V. Подставляем: ρ = 54 г / 20 см³ = 2,7 г/см³. Ответ сохраняет единицу «г/см³», потому что граммы делились на кубические сантиметры.
Теперь проверка смыслом. Если один кубический сантиметр имеет массу 2,7 г, то 20 см³ должны иметь массу 2,7 × 20 = 54 г. Получилось ровно число из условия.
Запись данных помогает не принять случайное число за нужную величину. Например, если в задаче названы длина, ширина и высота бруска, это ещё не масса. Сначала по размерам находят объём, а затем используют плотность.
Шаг 2. Выберите действие для массы или объёма
Найти массу. Плотность материала в условии равна 3 г/см³, объём образца — 12 см³. Каждый кубический сантиметр имеет массу 3 г; таких частей двенадцать. Поэтому m = 3 × 12 = 36 г. Проверка: 36 г / 12 см³ = 3 г/см³.
Найти объём. Масса однородного образца 45 г, плотность — 5 г/см³. Сколько кубических сантиметров дают 45 г, если на каждый приходится 5 г? V = 45 / 5 = 9 см³. Проверка: 9 см³ × 5 г/см³ = 45 г.
Можно ориентироваться и без запоминания трёх отдельных формул. Если известны масса и объём, делите массу на объём. Если известна плотность и объём, умножайте. Если известны масса и плотность, делите массу на плотность.
Но при сомнении лучше вернуться к смыслу записи «граммов в одном кубическом сантиметре». Она подсказывает действие над числами и помогает заметить неправдоподобный ответ.
Шаг 3. Приведите единицы к одному набору
Пусть плотность в условии равна 2 г/см³, объём — 0,03 л. Нельзя сразу умножать 2 на 0,03 и писать ответ в граммах: литры и кубические сантиметры здесь не согласованы. Один литр равен 1000 см³, значит, 0,03 л = 30 см³. Теперь m = 2 × 30 = 60 г.
Для других задач полезны равенства: 1 кг = 1000 г; 1 м³ = 1 000 000 см³; 1 л = 1000 см³. Не нужно применять все сразу. Выберите единицы, соответствующие плотности из условия, и переведите только то, что мешает подстановке.
Пример с килограммами и кубическими метрами: плотность материала 800 кг/м³, объём тела 0,02 м³. Единицы уже подходят друг другу. Масса равна 800 × 0,02 = 16 кг.
Если же при той же плотности объём дан как 20 л, сначала переведите его: 20 л = 0,02 м³. Расчёт снова даст 16 кг. Разные записи объёма описывают здесь одну и ту же величину.
Когда объём нужно найти по размерам
У прямоугольного бруска длина 5 см, ширина 3 см, высота 2 см. Его плотность в этой задаче равна 4 г/см³. Нужно найти массу.
Сначала определяем объём: V = 5 × 3 × 2 = 30 см³. Затем массу: m = 4 × 30 = 120 г. Ответ: 120 г.
Не умножайте плотность на одну длину или на площадь основания. Плотность дана для единицы объёма, поэтому до расчёта массы нужны все три размера бруска. Если одна сторона неизвестна, такого расчёта объёма по размерам выполнить нельзя, пока не появятся дополнительные данные.
Для цилиндра, шара или тела сложной формы потребуется способ найти их объём, указанный в теме задания. Сама связь массы, объёма и плотности после этого остаётся той же.
Как заметить ошибку до ответа
Смотрите на единицу результата. Если вы искали плотность, ответ в граммах показывает, что формула или подпись неверны: нужна единица вида г/см³ либо кг/м³. Если искали объём, в ответе должны быть кубические единицы, например см³.
Проверяйте направление изменения. При одинаковой плотности больший объём даёт большую массу. Если два образца имеют объёмы 6 и 12 см³, второй вдвое больше по объёму и вдвое тяжелее. При плотности 3 г/см³ их массы будут 18 и 36 г.
Наконец, подставьте найденное число обратно. Получили объём 9 см³ при плотности 5 г/см³ и массе 45 г? Умножение 9 × 5 возвращает 45. Такая проверка занимает одну строку и обнаруживает ошибки деления.
Если сложность начинается ещё с перевода граммов в килограммы, пригодится «Масса: как объяснить ребёнку граммы и килограммы». После перевода продолжайте решать задачу с одним выбранным набором единиц.
Задачи для самостоятельной работы
1. Масса однородного образца равна 72 г, объём — 24 см³. Найдите плотность.
2. Плотность вещества в условии равна 1,5 г/см³. Какова масса образца объёмом 40 см³?
3. Масса образца 96 г, плотность — 8 г/см³. Найдите его объём.
4. Прямоугольный брусок имеет размеры 4 см, 5 см и 3 см. Плотность материала — 2 г/см³. Найдите массу бруска.
5. Плотность вещества равна 600 кг/м³. Определите массу объёма 5 л.
Ответы и решения
1. ρ = 72 / 24 = 3 г/см³. Проверка: 3 × 24 = 72 г.
2. m = 1,5 × 40 = 60 г. Проверка: 60 / 40 = 1,5 г/см³.
3. V = 96 / 8 = 12 см³. Проверка: 12 × 8 = 96 г.
4. Сначала объём: 4 × 5 × 3 = 60 см³. Затем масса: 2 × 60 = 120 г.
5. Переводим объём: 5 л = 0,005 м³. Масса равна 600 × 0,005 = 3 кг. Проверка: 3 кг / 0,005 м³ = 600 кг/м³.
Если в ответах 4 и 5 получилось иное число, проверьте промежуточный шаг. В четвёртой задаче нужно сначала найти объём бруска, а в пятой — перевести литры в кубические метры.
Частые вопросы
Можно ли получить плотность, если известна только масса?
Нет. В этой задаче для расчёта по формуле нужен ещё объём образца. Одна и та же масса может занимать разный объём.
Что делать, если в таблице плотность дана в другой единице?
Переведите либо плотность, либо остальные величины так, чтобы единицы согласовались. Например, при плотности в кг/м³ удобно выражать массу в килограммах, а объём в кубических метрах.
Включать ли массу коробки в массу содержимого?
Ориентируйтесь на вопрос и данные условия. Если требуется плотность содержимого, нужна его масса без коробки. Если дана только масса «коробка вместе с содержимым», а масса пустой коробки неизвестна, этих данных недостаточно.
Почему у полого предмета расчёт может отличаться?
Нужно понять, о каком объёме спрашивают: внешнем объёме предмета или объёме материала, из которого он сделан. Для плотности материала берут массу материала и его объём. Если условие не позволяет отделить внутреннюю пустоту, уточните, какая величина задана.