Периметр — длина всей границы фигуры. Чтобы найти его, нужно пройти по контуру один раз и сложить длины всех сторон. У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому вместо сложения четырёх чисел можно удвоить сумму длины и ширины: периметр = (длина + ширина) × 2.
Ниже — задачи на периметр с разными условиями: известны все стороны, дана одна сторона и разница между ними, нужно сравнить фигуры или учесть общую границу. В каждом решении важно ответить на два вопроса: какие отрезки входят во внешний контур и в каких единицах будет записан результат.
1. Рамка для прямоугольной открытки
Для открытки размером 12 см на 8 см нужна тонкая рамка по краю. Какой длины должна быть рамка, если она идёт вдоль всех четырёх сторон без нахлёста?
У открытки две стороны по 12 см и две по 8 см. Сложим их: 12 + 8 + 12 + 8 = 40 см. Можно короче: (12 + 8) × 2 = 40 см.
Ответ: 40 см. Проверка по смыслу: рамка должна пройти вдоль двух длинных сторон — это 24 см — и двух коротких — ещё 16 см. Всего 40 см. Здесь нет припуска на соединение концов: в условии сказано, что нахлёста нет.
Эта задача показывает, что периметр измеряется в сантиметрах, метрах или других единицах длины. Если хочется отдельно разобраться, почему площадь записывают в квадратных единицах, поможет статья «Периметр и площадь: как объяснить ребёнку разницу».
2. Верёвка вокруг квадратной площадки
У квадратной площадки сторона 7 м. Сколько метров верёвки потребуется, чтобы обозначить её границу в один ряд? Верёвка идёт по всем сторонам; дополнительный запас в этой задаче не учитывается.
У квадрата четыре равные стороны. Значит, 7 × 4 = 28 м. Ответ: 28 м. Обратная проверка: если разделить всю длину границы на четыре равные части, 28 : 4 = 7 м — получим сторону из условия.
Квадрат можно считать прямоугольником, у которого длина и ширина равны. Тогда (7 + 7) × 2 тоже даёт 28 м. Выбирайте запись, которая яснее показывает, почему в ответ попали именно четыре стороны. Свойства этих фигур подробно разобраны в статье «Квадрат и прямоугольник: общие свойства и различия».
3. Ширина известна через разницу
Длина прямоугольного коврика 15 дм, а ширина на 6 дм меньше. Найдите периметр коврика.
Сначала найдём ширину: 15 − 6 = 9 дм. Затем сложим соседние стороны и удвоим сумму: (15 + 9) × 2 = 24 × 2 = 48 дм. Ответ: 48 дм.
Проверка: две длинные стороны дают 30 дм, две короткие — 18 дм. Вместе 48 дм. Ошибка здесь возникает, если подставить в формулу число 6 как ширину. В условии 6 дм — это разница между сторонами, а не длина стороны. Перед вычислением периметра назовите обе стороны фигуры отдельно.
4. Сторона по известному периметру
Периметр прямоугольной полки равен 46 см, её длина — 14 см. Найдите ширину.
Половина периметра равна сумме двух соседних сторон: 46 : 2 = 23 см. Из этой суммы вычтем длину: 23 − 14 = 9 см. Ответ: ширина 9 см.
Проверка обязательна, потому что при обратной задаче легко забыть деление пополам: (14 + 9) × 2 = 23 × 2 = 46 см. Если бы мы вычли 14 из полного периметра, получили бы число, которое не соответствует ни одной стороне полки.
Удобная короткая запись для такой задачи: «длина + ширина = половина периметра». Она помогает найти недостающую сторону без длинной цепочки действий.
5. Сравнение двух оград
Для двух прямоугольных грядок хотят натянуть ограду по внешнему краю каждой. Размеры первой — 6 м на 4 м, второй — 8 м на 3 м. Для какой грядки нужно больше ограды и на сколько?
Периметр первой: (6 + 4) × 2 = 20 м. Периметр второй: (8 + 3) × 2 = 22 м. Разница: 22 − 20 = 2 м. Ответ: для второй грядки нужно на 2 м больше ограды.
Проверить можно прямым сложением: у первой 6 + 4 + 6 + 4 = 20 м; у второй 8 + 3 + 8 + 3 = 22 м. Не стоит выбирать грядку только по самой длинной стороне. У второй сторона 8 м больше, чем 6 м у первой, но решает ответ сумма всех сторон.
6. Составная фигура из двух прямоугольников
К прямоугольнику размером 8 см на 4 см приставили сбоку прямоугольник размером 3 см на 4 см. Их стороны длиной 4 см полностью совпали, без зазора и наложения. Найдите периметр получившейся фигуры.
Внешняя фигура теперь представляет собой прямоугольник длиной 8 + 3 = 11 см и шириной 4 см. Его периметр: (11 + 4) × 2 = 30 см. Ответ: 30 см.
Можно проверить через периметры частей. У первой части он равен (8 + 4) × 2 = 24 см, у второй — (3 + 4) × 2 = 14 см. Сумма 38 см включает общую сторону длиной 4 см дважды. После соединения она оказалась внутри фигуры и не входит во внешний контур. Убираем обе записи этой стороны: 38 − 4 − 4 = 30 см.
Этот пример полезен тем, что показывает причину типичной ошибки. Нельзя просто сложить периметры соединённых фигур: общая граница после соединения может перестать быть внешней.
7. Дорожка в форме незамкнутой буквы
Дорожка идёт вдоль трёх сторон прямоугольной площадки размером 10 м на 6 м: вдоль обеих сторон по 6 м и одной стороны длиной 10 м. Сколько метров покрытия нужно уложить в один ряд по этой дорожке?
Складываем только названные участки: 6 + 10 + 6 = 22 м. Ответ: 22 м покрытия. Это не периметр всей площадки: четвёртая сторона длиной 10 м в дорожку не входит. Если вопрос был бы о полном периметре, ответ составил бы (10 + 6) × 2 = 32 м.
Такие условия проверяют внимательное чтение. Слово «прямоугольная» говорит о форме площадки, но вопрос касается конкретного маршрута. Перед выбором формулы отметьте в черновике стороны, по которым действительно проходит дорожка.
8. Разные единицы на сторонах
Длина прямоугольной таблички 40 см, ширина 3 дм. Найдите её периметр в сантиметрах.
Сначала переведём ширину: 3 дм = 30 см. Теперь обе стороны выражены в сантиметрах. Периметр: (40 + 30) × 2 = 140 см. Ответ: 140 см.
Проверка переводом ответа в дециметры: 140 см = 14 дм. Если считать сразу в дециметрах, длина 40 см = 4 дм, тогда (4 + 3) × 2 = 14 дм. Результаты совпали.
Запись «40 + 3» не даёт длину: слагаемые выражены в разных единицах. Можно переводить в любую удобную единицу, но в одном действии она должна быть общей.
9. Несколько одинаковых фигур
Три отдельные квадратные карточки со стороной 5 см обводят цветной лентой. Лента проходит по краю каждой карточки; карточки не соприкасаются. Какова общая длина ленты без запаса?
На одну карточку нужно 5 × 4 = 20 см. На три — 20 × 3 = 60 см. Ответ: 60 см. Проверка: всего обводят 3 × 4 = 12 сторон по 5 см, а 12 × 5 = 60 см.
Условие «не соприкасаются» здесь существенно. Если бы карточки соединили сторонами, часть границ оказалась бы внутри общей фигуры. В этой задаче все двенадцать сторон остаются внешними, поэтому можно умножить периметр одной карточки на три.
Как проверить решение до записи ответа
Прежде всего посмотрите, что именно требуется измерить: границу всей фигуры, часть её края или несколько отдельных контуров. Затем выпишите длины участков, которые входят в нужную границу. Так решение остаётся понятным даже тогда, когда фигура составная или в условии есть лишние для вычисления слова.
После вычисления проверьте три вещи. Все стороны учтены ровно по одному разу? Единицы приведены к общему виду? Ответ дан в тех единицах, о которых спрашивали? В задаче о рамке число 40 без «см» ещё не полный ответ: неизвестно, какой длины рамка.
Полезна и обратная проверка. Для квадрата разделите найденный периметр на четыре. Для прямоугольника разделите его на два и сравните с суммой соседних сторон. Если при проверке получаются исходные числа, вычисления согласуются с условием.
Частые вопросы
Можно ли измерить периметр линейкой, если фигура нарисована на бумаге?
Да, если нужен периметр именно рисунка. Измерьте каждую сторону и сложите результаты. Если рисунок показывает, например, участок земли в уменьшенном виде, длины на бумаге нельзя принимать за реальные размеры без указанного масштаба.
Что делать, если длина стороны получилась дробной?
Считайте в одной единице без округления посреди решения. Например, у квадрата со стороной 2,5 см периметр равен 2,5 × 4 = 10 см. Дробная длина стороны не мешает найти длину границы.
Почему общая сторона двух фигур иногда не входит в ответ?
Периметр объединённой фигуры проходит только по её внешней границе. Если две части соединены по целой стороне, этот отрезок оказывается внутри. Но если в задаче спрашивают сумму периметров отдельных фигур, общую сторону учитывают в каждой из них.
Можно ли найти периметр прямоугольника, зная только одну сторону?
Нет, если о второй стороне и связи между сторонами ничего не сказано. Прямоугольники с длиной 8 см и шириной 2 см или 5 см имеют разные периметры — 20 и 26 см. Понадобится ещё одно данное: ширина, периметр, разница сторон или их сумма.