В задаче на несколько остатков нужно найти число, которое выполняет все условия сразу. Чтобы получить наименьший ответ, удобно выписывать числа с одним заданным остатком по возрастанию и проверять остальные условия у каждого кандидата. Первый подходящий кандидат и будет ответом.
Например, требуется найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 4 даёт остаток 1, а при делении на 3 — остаток 2. Числа с остатком 1 при делении на 4: 1, 5, 9, 13… Проверяем по порядку: 1 при делении на 3 даёт остаток 1; 5 даёт остаток 2. Ответ — 5. Число 5 подходит по обоим условиям, а меньший кандидат из нужного ряда не подошёл.
Сначала убедитесь, что остаток возможен
Остаток при делении на 4 может быть 0, 1, 2 или 3. Он не может быть равен 4: четыре единицы уже составляют ещё одну полную четвёрку. Поэтому перед поиском полезно прочитать каждое условие отдельно.
Запись «число при делении на 4 даёт остаток 1» означает, что его можно составить из нескольких полных четвёрок и ещё одной единицы. Получается ряд 1, 5, 9, 13, 17, 21… Каждое следующее число больше предыдущего на 4. Если делить их на 4, остаток действительно останется равным 1.
Если ребёнок пока путает делитель, частное и остаток, можно сначала разобрать их на небольших предметах в статье «Как объяснить ребёнку деление чисел на понятных примерах». Для поиска числа важно понимать, что после деления остаётся меньше предметов, чем нужно для ещё одной полной группы.
Выберите ряд и двигайтесь по порядку
Решим задачу: найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 даёт остаток 2, а при делении на 4 — остаток 3.
Начнём с условия про деление на 5. Кандидаты: 2, 7, 12, 17, 22… Теперь последовательно делим их на 4:
- 2 : 4 — полных четвёрок нет, остаток 2;
- 7 = 4 × 1 + 3, подходит;
- дальше проверять не нужно.
Ответ — 7. Проверяем оба условия отдельно: 7 = 5 × 1 + 2 и 7 = 4 × 1 + 3. Число 2 меньше семи и выполняет первое условие, но не второе. Других чисел из нужного ряда между 2 и 7 нет.
В последней фразе заключено доказательство того, что ответ наименьший. Простая подстановка числа 7 подтверждает лишь то, что оно подходит. Для слова «наименьшее» нужно показать, почему меньшие кандидаты не годятся.
Не обязательно всегда брать ряд по первому условию. Удобнее начинать с делителя побольше: шаг между кандидатами будет крупнее, и проверок может оказаться меньше. Но для небольшой задачи выбирайте тот ряд, который ребёнок легче составляет без пропусков.
Добавьте третье условие без нового способа
Найдём наименьшее натуральное число, которое при делении на 3 даёт остаток 1, при делении на 4 — остаток 2, а при делении на 5 — остаток 3.
Начнём с деления на 5: кандидаты 3, 8, 13, 18, 23, 28… Проверять все три условия у каждого числа можно, но быстрее сначала отсеять неподходящие по делению на 4.
Число 3 при делении на 4 даёт остаток 3. Число 8 — остаток 0. Число 13 — остаток 1. Число 18 — остаток 2, значит, пора проверить третье условие: 18 при делении на 3 даёт остаток 0, поэтому оно не подходит. Число 23 при делении на 4 даёт остаток 3. Число 28 — остаток 0. Продолжаем ряд: 33 при делении на 4 даёт остаток 1; 38 даёт остаток 2. Теперь 38 при делении на 3 даёт остаток 2. Идём дальше: 43 при делении на 4 даёт остаток 3; 48 — остаток 0; 53 — остаток 1; 58 — остаток 2. При делении 58 на 3 остаток равен 1.
Ответ — 58. Полная проверка: 58 = 3 × 19 + 1, 58 = 4 × 14 + 2, 58 = 5 × 11 + 3. Мы перебрали по возрастанию все числа с остатком 3 при делении на 5 до 58 и проверили у них второе условие; те, что прошли его раньше, не выполнили третье.
Для длинного ряда удобно сделать три колонки: «кандидат», «остаток при делении на 4», «остаток при делении на 3». В третью колонку заносите результат только там, где вторая уже подходит. Так запись остаётся короткой, а пропущенные числа заметны.
Используйте общий остаток, если он есть
Иногда условия позволяют искать ещё быстрее. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 3 и на 5 даёт остаток 2, а при делении на 4 — остаток 1.
Если от искомого числа отнять 2, результат должен делиться и на 3, и на 5. Среди положительных чисел такими будут 15, 30, 45… Возвращаем остаток 2: получаем 17, 32, 47… Но есть и кандидат 2: он тоже даёт остаток 2 при делении на 3 и на 5. Проверим все эти числа по порядку при делении на 4: у 2 остаток 2, у 17 — 1.
Ответ — 17. Проверка: 17 = 3 × 5 + 2, 17 = 5 × 3 + 2 и 17 = 4 × 4 + 1.
При таком сокращении ряда легко забыть начальный кандидат 2. Поэтому после любого «хитрого» шага спросите: «Есть ли подходящее число меньше первого полного набора групп?» Если в задаче ищется натуральное число, маленький остаток сам по себе может быть допустимым кандидатом.
Как понять, что условий недостаточно или они противоречат друг другу
Не всякое условие даёт единственный ответ без слов «наименьшее» или заданного диапазона. Например, числа 5 и 17 при делении на 4 дают остаток 1, а при делении на 3 — остаток 2. Подойдут также 29, 41 и следующие числа того же ряда. Если вопрос звучит просто «Какое это число?», потребуется дополнительное ограничение.
Бывает и прямое противоречие. Требование получить остаток 1 и остаток 2 при делении одного числа на 4 одновременно выполнить нельзя. Здесь не поможет более длинный перебор: одно деление не имеет двух разных остатков.
Есть менее заметный случай. Число должно давать остаток 1 при делении на 2 и остаток 2 при делении на 4. Остаток 1 при делении на 2 означает нечётное число. Остаток 2 при делении на 4 означает число вида 4 × n + 2, а оно чётное. Подходящего числа нет. Полезно проверять, согласуются ли условия, когда один делитель связан с другим.
Задачи для самостоятельной проверки
Задача 1. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 6 даёт остаток 1, а при делении на 5 — остаток 3.
Кандидаты по первому условию: 1, 7, 13… Остатки при делении на 5: 1, 2, 3. Ответ — 13. Проверка: 13 = 6 × 2 + 1 и 13 = 5 × 2 + 3.
Задача 2. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 4 даёт остаток 2, а при делении на 3 — остаток 1.
Кандидаты: 2, 6, 10… При делении на 3 они дают остатки 2, 0, 1. Ответ — 10. Проверка: 10 = 4 × 2 + 2 и 10 = 3 × 3 + 1.
Задача 3. Найдите наименьшее натуральное число больше 20, которое при делении на 5 даёт остаток 4, а при делении на 3 — остаток 2.
Кандидаты больше 20: 24, 29, 34… Число 24 делится на 3 без остатка, а 29 = 3 × 9 + 2. Ответ — 29. Проверка первого условия: 29 = 5 × 5 + 4.
Во всех трёх задачах ряд начинается с одного условия, а ответ проверяется по каждому. В третьей задаче граница «больше 20» меняет начало поиска: числа 4, 9, 14 и 19 сразу исключены, даже если выполняют условия об остатках.
Где обычно теряется правильный ответ
Первая ошибка — считать только подходящие числа и пропустить маленький начальный кандидат. При делении на 5 с остатком 2 ряд начинается с 2, а не с 7. Проверяйте, разрешает ли условие число меньше делителя.
Вторая ошибка — продолжать ряд прибавлением другого делителя. Если выбран ряд чисел с остатком 2 при делении на 5, шаг всегда равен 5: 2, 7, 12, 17… Прибавление 4 или 3 меняет остаток по исходному условию.
Третья ошибка — проверить только одно из нескольких условий. Ответ к задаче с тремя делителями должен выдержать три отдельные подстановки. Запишите число как «делитель × целое число + остаток» для каждого делителя. Такая запись сразу показывает и частное, и остаток.
Частые вопросы
Можно ли начинать перебор с нуля?
Если ищется наименьшее натуральное число, следуйте принятому в условии смыслу этого слова; в школьных задачах обычно начинают с 1. Если прямо сказано «неотрицательное целое число», ноль тоже нужно проверить. Особенно это важно, когда один из остатков равен нулю.
Как быстро проверить большое найденное число?
Найдите ближайшее меньшее кратное каждого делителя и вычтите его. Для числа 58 при делении на 5 ближайшее меньшее кратное — 55, разность равна 3. Так же отдельно проверьте остальные делители.
Почему первый подходящий кандидат точно наименьший?
Потому что ряд составлен по возрастанию и содержит все числа, выполняющие выбранное исходное условие. Если каждый предыдущий кандидат не выполнил хотя бы ещё одно условие, меньшего общего решения в этом ряду нет.