В задачах на проценты сначала найдите целое: число, которое в этом условии принято за 100%. Затем определите, что известно — целое, его часть или доля в процентах. От этого зависит действие. Если сразу подставлять числа в запомненную формулу, легко получить аккуратный ответ не на тот вопрос.
Процент — одна сотая целого. Поэтому 1% от 600 равен 6, а 25% от 600 — это 150. Но в одной задаче за 100% принимают первоначальную цену, в другой — цену после скидки. Разобраться помогает короткая запись: «100% — …, известно — …, найти — …».
Шаг 1. Найдите целое, принятое за 100%
Прочитайте условие и спросите: «Процент от чего?» Например, в коробке 80 карандашей, 20% из них — синие. Все карандаши в коробке составляют 100%, то есть 80 штук. Синие — часть этого количества.
Теперь изменим вопрос: 16 синих карандашей составляют 20% всех карандашей в коробке. Здесь 100% неизвестны. Число 16 нельзя принять за целое только потому, что оно стоит в начале условия.
Полезно подписывать величины вместе с единицами: «100% — ? карандашей», «20% — 16 карандашей». Такая запись занимает одну строку и не даёт перепутать проценты со штуками или рублями.
Если ребёнок пока путает долю и целое, начните с двух простых ситуаций из статьи «Проценты в 6 классе: как объяснить ребёнку две задачи». Затем вернитесь к условиям, где нужно самостоятельно определить, что именно составляет 100%.
Шаг 2. Найдите часть по известному целому
В библиотеку привезли 240 книг. Из них 15% — сборники рассказов. Сколько привезли сборников?
В этой задаче все 240 книг — это 100%. Найдём один процент: 240 : 100 = 2,4 книги. Тогда 15% составляют 2,4 × 15 = 36 книг.
Можно посчитать короче: 240 × 15 : 100 = 36. Десятичная запись даёт тот же результат: 15% = 0,15, поэтому 240 × 0,15 = 36. Выберите способ, который ребёнку понятнее; смысл у всех трёх один.
Проверка: 10% от 240 — это 24, а 5% — 12. Вместе 36. Кроме того, 15% меньше 100%, значит ответ должен быть меньше 240. Если получилось 360, стоит проверить, не умножили ли 240 на 1,5 вместо 0,15.
С целыми предметами бывает и другая подсказка. Если вычисление дало 2,4 книги, это допустимый промежуточный результат для 1%, но окончательный ответ на вопрос «сколько книг?» должен согласоваться с условием. В нашем примере 15% дают целое число — 36.
Шаг 3. Восстановите целое по известной части
На школьной выставке 18 рисунков с городскими видами. Это 30% всех рисунков. Сколько рисунков на выставке?
Здесь 18 рисунков — часть, а не 100%. Если 30% равны 18, то 1% равен 18 : 30 = 0,6 рисунка. Все 100% равны 0,6 × 100 = 60 рисункам. Удобная короткая запись: 18 × 100 : 30 = 60.
Проверим ответ прямым действием: 30% от 60 — это 60 × 30 : 100 = 18. Значит найденное целое подходит.
Промежуточное «0,6 рисунка» не описывает отдельный предмет на выставке. Это расчётная доля, которая помогает найти всё количество. Если такая запись смущает, можно рассуждать иначе: 30% — это три десятых целого. Одна десятая составляет 18 : 3 = 6 рисунков, а десять десятых — 60.
Частая ошибка — вычислить 30% от 18 и получить 5,4. Это было бы ответом на другой вопрос: «Сколько составляет 30% от 18?» В данном условии 18 уже составляют 30%.
Шаг 4. Определите, сколько процентов составляет часть
В кружке 32 участника, 8 из них выбрали занятие с глиной. Какой процент участников выбрал глину?
Все участники — 100%. Доля группы составляет 8 : 32 = 0,25. Переведём долю в проценты: 0,25 × 100% = 25%.
Проверка идёт в обратную сторону: четверть от 32 равна 8. Здесь делим часть на целое, а не целое на часть. Выражение 32 : 8 = 4 показывает, во сколько раз вся группа больше выбранной части, но само по себе не отвечает на вопрос о проценте.
Не всегда выходит целое число процентов. Например, если 3 из 16 открыток имеют синий фон, то 3 : 16 × 100% = 18,75%. Если дробь длинная, прежде чем округлять, посмотрите, требует ли этого условие. Без такого указания точную дробь или десятичное число лучше сохранить.
Шаг 5. Разберите изменение цены
Рюкзак стоил 2000 рублей. Его цену снизили на 15%. Сколько он стоит теперь?
За 100% берём старую цену — 2000 рублей. Размер скидки: 2000 × 15 : 100 = 300 рублей. Новая цена: 2000 − 300 = 1700 рублей. Можно заметить, что после скидки осталось 85% прежней цены: 2000 × 85 : 100 = 1700.
Теперь обратный вопрос. После снижения на 15% рюкзак стоит 1700 рублей. Сколько он стоил раньше? Число 1700 здесь составляет 85% прежней цены. Значит, прежняя цена равна 1700 × 100 : 85 = 2000 рублей. Если прибавить к 1700 ещё 15% от 1700, получится неверный ответ: скидку считали от старой цены.
Для повышения правило такое же: определите исходное число. Билет стоил 500 рублей, затем подорожал на 12%. Прибавка равна 500 × 12 : 100 = 60 рублей, новая цена — 560 рублей. Проверка: 560 рублей составляют 112% от 500.
Шаг 6. Не складывайте изменения без проверки базы
Цена блокнота была 400 рублей. Сначала её повысили на 10%, а затем снизили на 10%. Вернулась ли она к прежнему значению?
После повышения блокнот стоит 400 + 40 = 440 рублей. Снижение считают уже от 440 рублей: 440 × 10 : 100 = 44 рубля. Итоговая цена — 440 − 44 = 396 рублей.
Два изменения по 10% не отменили друг друга, потому что у них разные основания. Первые 10% равны 40 рублям, вторые — 44 рублям. Проверить такой ответ проще, если записывать цену после каждого действия, а не пытаться сразу объединить проценты.
То же относится к любым последовательным изменениям: количества товара, числа участников, накопленной суммы. Каждый раз уточняйте, от какого значения взят очередной процент.
Потренируйтесь и проверьте решение
Попробуйте сначала подписать 100% в каждой задаче, затем выполнить действие и проверить ответ.
- В наборе 150 листов бумаги. 12% листов — жёлтые. Сколько жёлтых листов в наборе?
- На полке 14 книг в мягкой обложке. Это 35% всех книг на полке. Сколько книг всего?
- Из 45 открыток 9 подписаны. Какой процент открыток подписан?
- Настольная лампа стоила 1600 рублей. Цену снизили на 25%. Какова новая цена?
- После повышения на 20% абонемент стоит 900 рублей. Какова была его цена до повышения?
Ответы с объяснением. В первой задаче 100% — 150 листов, поэтому 150 × 12 : 100 = 18 жёлтых листов. Во второй 14 книг составляют 35%, значит всего 14 × 100 : 35 = 40 книг; проверка: 35% от 40 равны 14. В третьей доля подписанных открыток равна 9 : 45 = 0,2, то есть 20%. В четвёртой скидка равна 1600 × 25 : 100 = 400 рублей, новая цена — 1200 рублей. В пятой 900 рублей составляют 120% прежней цены, поэтому 900 × 100 : 120 = 750 рублей; 20% от 750 равны 150, а 750 + 150 = 900.
Если ребёнок ошибается, попросите его не переписывать всё решение сразу. Пусть сначала покажет в условии число, принятое за 100%, затем назовёт действие словами: «ищу часть», «восстанавливаю целое» или «сравниваю часть с целым». Так легче найти конкретное место ошибки.
Частые вопросы
Можно ли всегда делить число на 100, чтобы решить задачу?
Нет. Деление известного целого на 100 помогает найти 1% от него. Если известно только, чему равны 15% или 30%, сначала делят эту часть на число процентов, а затем умножают на 100. При сравнении части с целым порядок снова меняется: часть делят на целое.
Что делать, если в ответе получился процент больше 100?
Проверьте смысл вопроса. Если спрашивают, сколько процентов составляет новое значение от старого, результат больше 100% возможен: 560 рублей — это 112% от 500 рублей. Если же спрашивают долю выбранных предметов среди всех, значение больше 100% указывает на ошибку в выборе целого или порядке деления.
Как быстро проверить задачу, в которой искали первоначальную цену?
Подставьте найденную цену в исходное условие. Если после скидки 15% вышло 1700 рублей, посчитайте 85% от найденных 2000 рублей. Если задача была о повышении на 20%, прибавьте к найденной цене её пятую часть и сравните с указанной новой ценой.