Задачу на пропорцию удобно решать в три хода: записать две пары сравниваемых чисел в одинаковом порядке, приравнять их отношения и найти неизвестное. После вычисления нужно вернуть ответ в условие: получившееся число должно сохранять то же отношение.
Например, четыре одинаковые тетради стоят 120 рублей. Сколько стоят семь таких тетрадей? Запишем «количество тетрадей / стоимость» для обеих покупок: 4/120 = 7/x. Тогда 4 × x = 120 × 7, откуда x = 210. Проверка: одна тетрадь стоит 120 : 4 = 30 рублей; семь стоят 30 × 7 = 210 рублей.
Сначала решите, какие числа сравниваются
Пропорция — это равенство двух отношений. В записи 4/120 = 7/210 слева и справа сравниваются одни и те же величины в одном порядке: количество тетрадей с их стоимостью. Можно поменять порядок на «стоимость / количество», но тогда его нужно поменять с обеих сторон: 120/4 = 210/7. Оба равенства верны.
Перед записью обозначьте неизвестное буквой и подпишите пары словами. Для примера с тетрадями это «4 тетради — 120 рублей» и «7 тетрадей — x рублей». Такая короткая запись помогает увидеть, какое число относится к какому. Если в условии несколько покупок, не переносите число из одной пары в другую только потому, что так удобнее считать.
Спросите себя, что именно должно сохраняться. В этой задаче речь об одинаковых тетрадях с одной ценой за штуку. Поэтому стоимость каждой покупки и количество тетрадей можно сопоставить одним отношением. Если бы одна из покупок была со скидкой, прежнее равенство уже не следовало бы из условия: понадобилась бы цена со скидкой.
Найдите неизвестный член пропорции
Для равенства a/b = c/d произведения чисел по диагонали равны: a × d = b × c. Так можно убрать дробную черту и получить обычное уравнение. Следите за положением неизвестного: число, на которое умножается x, затем делит известное произведение.
Допустим, 3/5 = x/20. Умножаем по диагонали: 5 × x = 3 × 20. Получаем 5x = 60 и x = 12. Подставляем ответ: 3/5 = 12/20. Обе дроби равны 0,6.
Необязательно каждый раз переводить дроби в десятичные. В примере 3/5 = 12/20 правую дробь можно сократить на 4 и снова получить 3/5. Такой способ проверки часто быстрее, а при неудобных десятичных дробях ещё и надёжнее.
Если неизвестное стоит в знаменателе, порядок действий остаётся тем же. Пусть 6/x = 9/12. Тогда 6 × 12 = 9x, то есть 72 = 9x и x = 8. Проверка: 6/8 = 9/12 = 3/4. Знаменатель не может быть нулём: деление на ноль не определено.
Составьте пропорцию из текстовой задачи
Разберём полный пример. Для 6 одинаковых открыток понадобилось 18 листов цветной бумаги. Сколько листов понадобится для 10 таких открыток, если на каждую уходит одинаковое количество бумаги?
- Обозначаем неизвестное: x листов для 10 открыток.
- Записываем пары: 6 открыток — 18 листов; 10 открыток — x листов.
- Выбираем единый порядок: «открытки / листы». Получаем 6/18 = 10/x.
- Умножаем по диагонали: 6x = 18 × 10 = 180. Значит, x = 30.
- Проверяем смысл: на одну открытку уходит 18 : 6 = 3 листа; на десять — 3 × 10 = 30 листов.
Последний шаг важен даже при верном вычислении. Если открыток стало больше, а бумаги по условию уходит столько же на каждую, итоговое число листов тоже должно стать больше. Ответ 5 листов сразу показал бы, что числа в записи перепутаны или допущена ошибка при делении.
Теперь задача с другой неизвестной. За 5 метров одной и той же ленты заплатили 400 рублей. Сколько метров этой ленты можно купить за 640 рублей при той же цене за метр? Пары: 5 метров — 400 рублей; x метров — 640 рублей. Запись «метры / рубли» даёт 5/400 = x/640. Отсюда 400x = 5 × 640 = 3200, x = 8. Проверка через цену: 400 : 5 = 80 рублей за метр, а 640 : 80 = 8 метров.
В обеих задачах можно было обойтись вычислением «на одну штуку» или «на один метр». Это полезная проверка пропорции: если оба способа дают разные результаты, вернитесь к парам чисел и посмотрите, что стоит в числителях и знаменателях.
Не забывайте о единицах и составе покупки
Числа в одной позиции должны обозначать одну и ту же величину. Если даны 2 метра и 50 сантиметров, сначала выразите длины в одинаковых единицах. Например, 2 метра — это 200 сантиметров. Лишь после этого имеет смысл ставить обе длины в один столбец или в числители дробей.
Представим, что на 4 одинаковых пакета ушло 600 граммов крупы. Сколько граммов нужно на 7 пакетов? Запись 4/600 = 7/x даёт 4x = 4200 и x = 1050 граммов. Если ответ нужен в килограммах, переведите его после решения: 1050 граммов = 1,05 килограмма. Так меньше шансов незаметно смешать граммы и килограммы в одной пропорции.
Проверяйте и то, что именно считается одинаковым. «Четыре пакета» могут быть разного размера; тогда по их числу нельзя узнать расход крупы на семь новых пакетов. В нашей задаче слово «одинаковых» и расход на каждый пакет задают нужную связь. Если таких данных нет, не подбирайте число наугад: уточните условие.
Для сравнения, в задаче «На 4 открытки ушло 12 наклеек; сколько наклеек уйдёт на 6 таких же открыток?» ответ определён только тогда, когда число наклеек на каждой открытке одинаково. Если это прямо указано, получаем 4/12 = 6/x, значит, x = 18. Если украшение каждой открытки свободное, одного числа открыток недостаточно.
Как найти ошибку в готовом решении
Ученик записал для задачи про 5 метров ленты за 400 рублей равенство 5/400 = 640/x и получил x = 51 200. Достаточно прочитать дроби словами: слева «метры / рубли», справа «рубли / метры». Порядок изменился, поэтому равенство не описывает условие. Исправленная запись — 5/400 = x/640.
Бывает и другая ошибка: пары составлены правильно, но при умножении по диагонали неверно перенесли число. В равенстве 2/7 = 6/x получаем 2x = 7 × 6 = 42. Значит, x = 21, а не 84. Проверка сокращением подтверждает ответ: 6/21 = 2/7.
Если ответ выглядит неожиданно, начните не с повторного умножения, а с короткого вопроса о смысле. Сколько приходится на одну вещь? Должен ли результат быть больше или меньше исходного? Можно ли подставить найденное число и получить равные дроби? Эти три проверки ловят разные ошибки: неверную запись условия, арифметическую ошибку и случайно пропущенную единицу измерения.
Если ребёнку трудно увидеть, что означает «половина от количества» или «три четверти от числа» в соседних задачах, пригодится отдельное объяснение нахождения числа по его части. Здесь же держим в фокусе равенство двух отношений.
Попробуйте решить самостоятельно
1. Три одинаковых альбома стоят 270 рублей. Сколько стоят пять таких альбомов при той же цене? Обозначьте стоимость пяти альбомов через x и запишите пропорцию.
2. Для 8 одинаковых флажков взяли 24 листа бумаги. Сколько таких флажков можно сделать из 45 листов при том же расходе на каждый? Обозначьте число флажков через x.
3. Найдите x в пропорции 14/21 = x/9. Сначала упростите известную дробь или сразу умножьте числа по диагонали.
4. Найдите x в пропорции 5/x = 15/24. После решения проверьте, что обе дроби равны.
Ответы лучше открывать после собственной попытки. В первой задаче 3/270 = 5/x, поэтому 3x = 1350 и x = 450 рублей. Один альбом стоит 90 рублей; пять — 450. Во второй задаче 8/24 = x/45, значит, 24x = 360 и x = 15 флажков. Проверка: три листа на флажок, 45 : 3 = 15.
В третьем упражнении 21x = 14 × 9 = 126, откуда x = 6; действительно, 14/21 = 6/9 = 2/3. В четвёртом 5 × 24 = 15x, поэтому x = 8; проверка: 5/8 = 15/24. Если получился иной ответ, сравните не только вычисление, но и расположение x в исходной дроби.
Частые вопросы
Можно ли поменять дроби местами?
Да. Из равенства 4/120 = 7/x получится то же решение, если записать 7/x = 4/120. Важно сохранить внутри каждой дроби один порядок величин. Можно также перевернуть обе дроби: 120/4 = x/7.
Как понять, чему равен x: рублям или штукам?
Посмотрите, какое число x заменяет в короткой записи условия. В паре «7 тетрадей — x рублей» неизвестное обозначает стоимость, поэтому ответ пишут в рублях. Буква сама по себе единиц не задаёт.
Что делать, если после вычисления вышла дробь?
Проверьте, допускает ли условие такой ответ. Для длины ленты 2,5 метра могут быть вполне осмысленны. Для числа целых открыток 2,5 открытки уже требует уточнения: возможно, ошиблись в записи или в условии речь о расходе материала, а не о готовых вещах.
Можно ли проверить ответ без второго длинного решения?
Да. Подставьте число вместо x и сократите обе дроби. Если они равны и единицы измерения на местах, числовая пропорция решена верно.