В биквадратном уравнении ax⁴ + bx² + c = 0 удобно заменить x² новой переменной y. Тогда x⁴ становится y², и получается квадратное уравнение относительно y. После его решения нужно вернуться к x: положительное y даёт два действительных корня, нулевое — один, отрицательное — ни одного.
На этом последнем шаге чаще всего теряют ответ. Найденные значения y — ещё не корни исходного уравнения. Для каждого подходящего y отдельно решите x² = y, выпишите различные значения x и проверьте их подстановкой в исходную запись.
Как работает замена
Поскольку x⁴ = (x²)², после замены y = x² уравнение ax⁴ + bx² + c = 0 превращается в ay² + by + c = 0. Такой переход описан в разделе OpenStax об уравнениях, сводящихся к квадратным.
Есть ограничение, которое нельзя забывать при обратном переходе: для действительного x число x² неотрицательно. Поэтому отрицательный корень уравнения относительно y отбрасывается не из-за ошибки вычислений, а потому, что равенство x² = y при таком y не имеет действительных решений. Для положительного y нужны оба знака: x = −√y и x = √y. При y = 0 записывают только x = 0. Это следует из правила квадратного корня в OpenStax.
Удобно разделить черновик на три строки: «уравнение для y», «допустимые y», «корни x». Тогда ответ x = 4 не окажется ошибочно заменён ответом y = 16. В проверке же нужна исходная запись с x⁴ и x². Равенство после замены помогает найти кандидата, но подстановка подтверждает результат для первоначального условия.
Три разобранных примера
Пример 1. Два положительных значения y
Решите в действительных числах: x⁴ − 20x² + 64 = 0. Укажите все различные корни.
Положим y = x². Получаем y² − 20y + 64 = 0. Разложение на множители: (y − 4)(y − 16) = 0. Скобки можно проверить раскрытием: y² − 16y − 4y + 64 = y² − 20y + 64. Следовательно, y = 4 или y = 16.
Возвращаемся к x. Из x² = 4 получаем x = −2 и x = 2. Из x² = 16 получаем x = −4 и x = 4. Проверяем отрицательные и положительные числа в исходной записи:
- При x = −4 или x = 4: x² = 16, x⁴ = 256; 256 − 20 · 16 + 64 = 0.
- При x = −2 или x = 2: x² = 4, x⁴ = 16; 16 − 20 · 4 + 64 = 0.
Ответ: x = −4; −2; 2; 4. Одинаковая проверка для пары чисел допустима: исходное уравнение содержит только чётные степени x, поэтому у чисел, противоположных по знаку, значения x² и x⁴ совпадают.
Пример 2. Одно из значений y равно нулю
Решите в действительных числах: 2x⁴ − 50x² = 0. Укажите все различные корни.
После замены y = x² получаем 2y² − 50y = 0. Выносим 2y: 2y(y − 25) = 0. Значит, y = 0 или y = 25. При y = 0 имеем x² = 0, откуда x = 0. При y = 25 получаем x = −5 и x = 5.
Проверка: при x = 0 левая часть равна нулю. При x = −5 или 5 имеем x² = 25 и x⁴ = 625; 2 · 625 − 50 · 25 = 1250 − 1250 = 0. Ответ: x = −5; 0; 5.
Здесь нельзя делить исходное уравнение на x²: так пропадёт x = 0. Замена сохраняет этот случай, если рассмотреть оба множителя, включая y.
Пример 3. Одно значение y отрицательное
Решите в действительных числах: 3x⁴ − 81x² − 972 = 0. Укажите все различные корни.
Пусть y = x². Тогда 3y² − 81y − 972 = 0. Делим на 3: y² − 27y − 324 = 0. Раскладываем: (y + 9)(y − 36) = 0. Раскрытие скобок даёт y² − 36y + 9y − 324, то есть нужное выражение. Поэтому y = −9 или y = 36.
Равенство x² = −9 не имеет действительных решений. Равенство x² = 36 даёт x = −6 и x = 6. Проверка обеих величин по модулю 6 в исходном уравнении: x² = 36, x⁴ = 1296; 3 · 1296 − 81 · 36 − 972 = 3888 − 2916 − 972 = 0. Ответ: x = −6; 6.
Знак минуса в записи y + 9 = 0 означает y = −9, а не 9. Отрицательное значение y нужно назвать среди результатов промежуточного квадратного уравнения, но не переносить в окончательный ответ для x.
Восемь задач для самостоятельной работы
Решите уравнения в действительных числах и укажите все различные корни. В каждой задаче начните с y = x². Если у уравнения для y два одинаковых корня, при возврате к x не повторяйте одинаковые значения. После решения проверьте все выписанные x в исходном уравнении.
- x⁴ + 29x² + 100 = 0.
- 2x⁴ − 116x² + 882 = 0.
- 3x⁴ + 48x² = 0.
- x⁴ − 80x² + 1024 = 0.
- 2x⁴ − 100x² + 1250 = 0.
- 3x⁴ = 0.
- x⁴ − 24x² − 1225 = 0.
- 2x⁴ − 234x² + 5832 = 0.
Проверьте не только арифметику разложения. Отдельно спросите себя: «Может ли найденное y быть квадратом действительного x?» Это позволяет правильно обработать задачи, в которых квадратное уравнение для y решается, но не каждое его решение приводит к x.
Ключи с обратной подстановкой
4. x⁴ + 29x² + 100 = 0. После замены: y² + 29y + 100 = (y + 4)(y + 25) = 0. Получаем y = −4 и y = −25. Оба значения отрицательны, а x² ≥ 0 для любого действительного x. Ответ: действительных корней нет. Подстановка корней x невозможна, поскольку кандидатов среди действительных чисел нет; это также видно прямо из исходной записи: x⁴ и 29x² неотрицательны, а к ним прибавлено 100.
5. 2x⁴ − 116x² + 882 = 0. Уравнение для y: 2y² − 116y + 882 = 2(y − 9)(y − 49) = 0. Значит, y = 9 или y = 49. Получаем x = −3, 3 и x = −7, 7. Проверка для x = ±3: 2 · 81 − 116 · 9 + 882 = 162 − 1044 + 882 = 0. Для x = ±7: 2 · 2401 − 116 · 49 + 882 = 4802 − 5684 + 882 = 0. Ответ: x = −7; −3; 3; 7. Пары проверяются вместе, потому что знак x не меняет его чётные степени.
6. 3x⁴ + 48x² = 0. После замены: 3y² + 48y = 3y(y + 16) = 0. Значения y равны 0 и −16. Только y = 0 допускает действительное x, причём x = 0. Проверка: 3 · 0⁴ + 48 · 0² = 0. Ответ: x = 0. Деление на y в начале решения уничтожило бы как раз допустимое значение.
7. x⁴ − 80x² + 1024 = 0. Имеем y² − 80y + 1024 = (y − 16)(y − 64) = 0. Отсюда y = 16 и y = 64, значит, x = ±4 и x = ±8. Проверка для x = ±4: 256 − 80 · 16 + 1024 = 0. Для x = ±8: 4096 − 80 · 64 + 1024 = 0. Ответ: x = −8; −4; 4; 8. Не путайте найденное y = 64 с корнем x = 64: его квадрат был бы значительно больше 64.
8. 2x⁴ − 100x² + 1250 = 0. Получаем 2y² − 100y + 1250 = 2(y − 25)² = 0. Значение y = 25 повторяется, но это одно различное значение. Из x² = 25 следуют x = −5 и x = 5. Проверка для каждого из них: 2 · 625 − 100 · 25 + 1250 = 1250 − 2500 + 1250 = 0. Ответ: x = −5; 5. Повтор квадратного множителя не превращает ответ в четыре различных числа.
9. 3x⁴ = 0. При y = x² получаем 3y² = 0, откуда y = 0. Тогда x² = 0 и x = 0. Подстановка: 3 · 0⁴ = 0. Ответ: x = 0. Хотя ноль можно записать со знаками «плюс» и «минус», различного второго корня это не создаёт.
10. x⁴ − 24x² − 1225 = 0. Уравнение для y: y² − 24y − 1225 = (y + 25)(y − 49) = 0. Имеем y = −25 или y = 49. Первое значение не подходит для действительного x; второе даёт x = −7 и x = 7. Проверка: 7⁴ − 24 · 7² − 1225 = 2401 − 1176 − 1225 = 0; для −7 чётные степени дают те же числа. Ответ: x = −7; 7.
11. 2x⁴ − 234x² + 5832 = 0. После замены: 2y² − 234y + 5832 = 2(y − 36)(y − 81) = 0. Поэтому y = 36 или y = 81, а x = ±6 или x = ±9. При x = ±6 проверка даёт 2 · 1296 − 234 · 36 + 5832 = 2592 − 8424 + 5832 = 0. При x = ±9: 2 · 6561 − 234 · 81 + 5832 = 13122 − 18954 + 5832 = 0. Ответ: x = −9; −6; 6; 9.
Биквадратное уравнение — один конкретный случай замены переменной. Если нужно разобраться, как выбирать замену в других уравнениях, сводящихся к квадратным, читайте материал «Уравнения, сводящиеся к квадратным: замена переменной и проверка». Для задач выше достаточно не перепутать промежуточное y с окончательным x и не пропустить проверку знака y.