Чтобы найти длину отрезка, сначала определите порядок точек: он показывает, какие части входят в целый отрезок. Если известны длина целого и одной части, неизвестную часть находят вычитанием; если известны части, их длины складывают.
Ниже — два учебных разбора и шесть задач с полным ключом. Рисунок для решения не обязателен: порядок точек указан в каждом условии.
Как читать запись
Буквы обозначают точки, а запись AB — отрезок с концами A и B. Когда рядом стоит число с единицей длины, например AB = 7 см, оно обозначает длину этого отрезка.
Если точки A, B, C расположены на прямой именно в таком порядке, точка B находится между A и C. Поэтому AB + BC = AC: длины двух соседних частей в сумме дают длину целого отрезка. Это равенство используют и в учебном материале Центра K20 Университета Оклахомы.
Порядок важен для применения равенства. По одной записи трёх букв без указания, какая точка находится между двумя другими, нельзя считать, что AB и BC составляют AC.
Разбор 1. Найти часть целого
Условие. Точки A, B, C лежат на прямой в указанном порядке. AC = 19 см, AB = 7 см. Найдите BC.
- Точка B находится между A и C, значит, отрезок AC состоит из AB и BC.
- Запишем равенство: AB + BC = AC.
- Подставим известные длины: 7 + BC = 19.
- Вычтем 7 из обеих частей: BC = 19 − 7 = 12 см.
Ответ: BC = 12 см. Проверка: 7 см + 12 см = 19 см, как указано в условии.
Здесь важно вычитать известную часть из целого. Сумма 19 + 7 не подходит: отрезок AB уже входит в AC, а не продолжает его.
Разбор 2. Четыре точки и общая часть
Условие. Точки A, B, C, D лежат на прямой в указанном порядке. AC = 15 см, BD = 17 см, BC = 6 см. Найдите AD.
Отрезок AC состоит из AB и BC, а отрезок BD — из BC и CD. В обоих известных отрезках есть одна и та же часть BC.
- Найдём AB: AC − BC = 15 − 6 = 9 см.
- Найдём CD: BD − BC = 17 − 6 = 11 см.
- Отрезок AD состоит из трёх соседних частей: AB, BC и CD. Поэтому AD = 9 + 6 + 11 = 26 см.
Ответ: AD = 26 см.
Проверим найденные части по исходным данным: 9 + 6 = 15 см для AC, а 6 + 11 = 17 см для BD.
Можно вычислить короче: AD = AC + BD − BC = 15 + 17 − 6 = 26 см. При сложении AC и BD общая часть BC учитывается дважды, поэтому её длину один раз вычитают. Такое сокращение подходит именно при данном порядке четырёх точек.
Задачи для самостоятельной работы
Запишите равенство по порядку точек, затем подставьте числа. В задаче 3 нужно найти две длины; в остальных — по одной.
1. Две соседние части
Точки A, B, C расположены на прямой в таком порядке. AB = 4 см, BC = 9 см. Найдите AC.
2. Целое и правая часть
На прямой точки идут в порядке A, B, C. AC = 24 см, BC = 10 см. Найдите AB.
3. Два отрезка из трёх частей
Точки A, B, C, D следуют на прямой в таком порядке. AB = 3 см, BC = 5 см, CD = 8 см. Найдите BD и AD.
4. Перекрывающиеся отрезки
Точки A, B, C, D на прямой идут в указанном порядке. AC = 18 см, BD = 22 см, BC = 7 см. Найдите AD.
5. Равные части
Точка B лежит между A и C. AB = BC, AC = 26 см. Найдите AB.
6. Неизвестная средняя часть
Точки A, B, C, D на прямой идут в указанном порядке. AD = 20 см, AB = 5 см, CD = 9 см. Найдите BC.
Как проверить решение до ответа
Сначала проверьте, тот ли отрезок вы нашли. Например, при порядке A, B, C, D отрезок BD начинается в B, поэтому AB в его длину не входит.
Затем сравните целое и часть. Длина AC должна быть больше длины AB, если B находится между A и C и обе части имеют положительную длину. Если после вычитания получилась отрицательная длина, проверьте порядок вычитания и данные.
Наконец, подставьте результат обратно в равенство из условия. Для задач с четырьмя точками можно проверить не только итоговый отрезок, но и каждый известный: складываются ли его соседние части в заданную длину.
Если трудно выделить данные и вопрос, поможет материал о том, как помочь ребёнку разобраться в условии задачи.
Ответы и пояснения
- AC = 13 см. Точка B между A и C, поэтому AC = AB + BC = 4 + 9 = 13 см.
- AB = 14 см. Из целого AC вычитаем известную часть BC: 24 − 10 = 14 см.
- BD = 13 см, AD = 16 см. Для BD складываем BC и CD: 5 + 8 = 13 см. Для AD складываем все три части: 3 + 5 + 8 = 16 см.
- AD = 33 см. При сложении AC и BD часть BC учтена дважды, поэтому AD = 18 + 22 − 7 = 33 см.
- AB = 13 см. Отрезок AC состоит из двух равных частей, поэтому длина каждой равна 26 : 2 = 13 см.
- BC = 6 см. Из AD вычитаем крайние части: 20 − 5 − 9 = 6 см.