Чтобы решить задачи на производные, сначала определите вид выражения: сумма слагаемых, произведение или частное. Выберите соответствующее правило, найдите производную и только потом подставляйте значение x, если оно требуется.
В практикуме четыре задачи разобраны по шагам, ещё восемь можно решить самостоятельно. Все необходимые правила собраны в учебнике OpenStax.
Правила и обозначения
Запись f′(x) обозначает производную функции f(x), а f′(1) — значение этой производной при x = 1.
- Производная суммы равна сумме производных слагаемых. Для степени: (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹; производная постоянного числа равна нулю.
- Для произведения двух функций u и v: (uv)′ = u′v + uv′.
- Для частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², где v ≠ 0.
Здесь достаточно этих правил: во всех задачах встречаются многочлены, их произведения и частные линейных выражений.
Что чаще всего сбивает с ответа
При работе с многочленом легко сохранить постоянное слагаемое: например, производная числа 5 равна нулю. Ещё одна ошибка — умножить производные двух множителей и забыть слагаемые u′v и uv′.
В частном важно вычитать весь результат uv′ и возводить знаменатель в квадрат. После преобразований сохраните ограничение исходной функции: значение, при котором её знаменатель равен нулю, не подходит. А если просят f′(1), не подменяйте ответ числом f(1).
Четыре разбора: от слагаемых к дроби
1. Производная многочлена
Найдите производную f(x) = x³ − 2x² + 3x + 5 на всей действительной оси.
- Производная x³ равна 3x².
- Производная −2x² равна −4x, а производная 3x равна 3.
- Постоянное слагаемое 5 даёт ноль.
Ответ: f′(x) = 3x² − 4x + 3. Формула действует при любом действительном x.
2. Значение производной в точке
Дана f(x) = 2x² − 3x + 1. Найдите f′(1), не значение самой функции.
Сначала дифференцируем выражение: f′(x) = 4x − 3. Теперь подставляем x = 1: f′(1) = 4 · 1 − 3 = 1.
Ответ: 1. Подстановка в исходную функцию здесь не отвечает на вопрос.
3. Производная произведения
Найдите производную f(x) = (x + 1)(x² − 2).
Обозначим первый множитель u = x + 1, второй v = x² − 2. Тогда u′ = 1, v′ = 2x. По правилу произведения:
f′(x) = 1 · (x² − 2) + (x + 1) · 2x = 3x² + 2x − 2.
Проверить результат можно раскрытием исходных скобок: f(x) = x³ + x² − 2x − 2. Производная этой суммы совпадает с полученной.
Ответ: f′(x) = 3x² + 2x − 2.
4. Производная частного и ограничение
Найдите производную f(x) = (2x + 1)/(x + 3) и укажите область её действия.
Положим u = 2x + 1 и v = x + 3. Их производные: u′ = 2 и v′ = 1. Подставляем в правило частного:
f′(x) = [2(x + 3) − (2x + 1)]/(x + 3)².
В числителе получаем 2x + 6 − 2x − 1 = 5. Знаменатель исходной функции обращается в ноль при x = −3, поэтому эту точку исключаем.
Ответ: f′(x) = 5/(x + 3)²; x ≠ −3.
Восемь задач для самостоятельной работы
Сначала запишите решение, затем сравните его с ключом. В задачах на значение в точке оставьте отдельную строку для найденной производной; в задачах на частное запишите ограничение.
5. Найдите производную f(x) = 2x³ − 3x² + 4x + 5 на всей действительной оси.
6. Дана f(x) = 3x² − 3x + 2. Найдите f′(2), не значение самой функции.
7. Найдите производную f(x) = (x + 2)(x² − 3).
8. Найдите производную f(x) = (3x + 2)/(x + 4) и укажите область её действия.
9. Найдите производную f(x) = 3x³ − 4x² + 5x + 5 на всей действительной оси.
10. Дана f(x) = 4x² − 3x + 3. Найдите f′(3), не значение самой функции.
11. Найдите производную f(x) = (x + 3)(x² − 4).
12. Найдите производную f(x) = (4x + 3)/(x + 5) и укажите область её действия.
Ключ с промежуточными вычислениями
5. Производные слагаемых: 6x², −6x, 4 и 0. Поэтому f′(x) = 6x² − 6x + 4 при любом действительном x.
6. Сначала f′(x) = 6x − 3. Подстановка даёт f′(2) = 12 − 3 = 9.
7. По правилу произведения f′(x) = (x² − 3) + (x + 2) · 2x = 3x² + 4x − 3. Для проверки можно раскрыть исходные скобки: x³ + 2x² − 3x − 6.
8. Производная равна [3(x + 4) − (3x + 2)]/(x + 4)² = 10/(x + 4)². Исходный знаменатель равен нулю при −4, поэтому x ≠ −4.
9. Дифференцируем каждое слагаемое: f′(x) = 9x² − 8x + 5. Область действия — вся действительная ось.
10. Получаем f′(x) = 8x − 3, затем f′(3) = 24 − 3 = 21.
11. По правилу произведения f′(x) = (x² − 4) + (x + 3) · 2x = 3x² + 6x − 4. Раскрытые исходные скобки дают x³ + 3x² − 4x − 12.
12. Применяем правило частного: f′(x) = [4(x + 5) − (4x + 3)]/(x + 5)² = 17/(x + 5)². Ограничение исходного знаменателя: x ≠ −5.
Для правила частного важно помнить ограничения знаменателя. Если с ними возникают трудности, повторите допустимые значения дробно-рациональных выражений, а затем вернитесь к проверке области действия найденной производной.