Область определения функции — это все значения x, при которых выражение функции имеет смысл. Для дробей и квадратных корней нужно выписать ограничения, решить их и оставить только значения, удовлетворяющие всем условиям сразу.
В этом практикуме все функции действительные. Начните с четырёх разборов, затем решите восемь задач и сверьте не только ответы, но и ограничения.
Какие условия выписать перед решением
По правилам из учебника OpenStax, знаменатель не может равняться нулю, а выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным. Если корень находится в знаменателе, подкоренное выражение должно быть строго положительным. Несколько условий выполняются одновременно, поэтому берут их пересечение.
При решении неравенства деление на отрицательное число меняет направление знака. Граница входит в ответ при нестрогом неравенстве, если другое условие её не исключает.
Где возникают ошибки
Область определения описывает допустимые значения x, а не значения самой функции. В дроби с корнем в числителе проверяйте и подкоренное выражение, и знаменатель: выполнение одного условия не отменяет другого.
Если исключаемая знаменателем точка уже лежит вне допустимой области корня, дополнительно убирать её из ответа не нужно. Если же она совпадает с границей или находится внутри области, её необходимо исключить. При корне в знаменателе ноль под корнем недопустим, хотя сам по себе квадратный корень из нуля существует.
Четыре разбора ограничений
1. Исключаем ноль знаменателя
Найдите область определения действительной функции f(x) = 1/(x − (−1)).
Знаменатель должен быть отличен от нуля: x − (−1) ≠ 0. Следовательно, x ≠ −1.
Ответ: все действительные x, кроме −1. Других ограничений в выражении нет.
2. Решаем неравенство для корня
Найдите область определения действительной функции f(x) = √(2x + (4)).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 2x + 4 ≥ 0. Переносим 4 и делим на положительное число 2: x ≥ −2.
Ответ: x ≥ −2. Граница входит: при x = −2 под корнем получается ноль.
3. Сопоставляем два условия
Найдите область определения действительной функции f(x) = √(x − 1)/(x − (4)).
Для корня требуется x − 1 ≥ 0, то есть x ≥ 1. Для знаменателя требуется x − 4 ≠ 0, то есть x ≠ 4. Оба условия должны выполняться одновременно. Число 4 находится среди значений x ≥ 1, поэтому его исключаем.
Ответ: x ≥ 1, x ≠ 4.
4. Требуем положительное выражение под корнем в знаменателе
Найдите область определения действительной функции f(x) = 1/√(1x + (−4)).
Знаменатель должен существовать и не быть равным нулю. Поэтому 1x + (−4) > 0. Решение неравенства — x > 4.
Ответ: x > 4. При x = 4 знаменатель был бы равен нулю, поэтому граница не входит.
Восемь задач для самостоятельной работы
В каждом пункте найдите область определения действительной функции. Сначала запишите ограничения в исходном виде, затем решите их. Там, где условий два, проверьте, какие значения удовлетворяют обоим.
5. Найдите область определения действительной функции f(x) = 1/(x − (0)).
6. Найдите область определения действительной функции f(x) = √(−2x + (6)).
7. Найдите область определения действительной функции f(x) = √(x − 2)/(x − (−2)).
8. Найдите область определения действительной функции f(x) = 1/√(−1x + (5)).
9. Найдите область определения действительной функции f(x) = 1/(x − (1)).
10. Найдите область определения действительной функции f(x) = √(4x + (−8)).
11. Найдите область определения действительной функции f(x) = √(x − 3)/(x − (3)).
12. Найдите область определения действительной функции f(x) = 1/√(2x + (6)).
Ключ: от условий к допустимым x
5. Знаменатель не равен нулю: x − 0 ≠ 0. Ответ: все действительные x, кроме 0.
6. Требуется −2x + 6 ≥ 0. При делении на −2 знак меняется: x ≤ 3. Граница входит, поскольку при x = 3 под корнем ноль.
7. Для корня x − 2 ≥ 0, то есть x ≥ 2. Для знаменателя x − (−2) ≠ 0, то есть x ≠ −2. Число −2 уже не входит в полупрямую x ≥ 2. Ответ: x ≥ 2.
8. Корень стоит в знаменателе, поэтому −1x + 5 > 0. При делении на отрицательное число знак меняется. Ответ: x < 5.
9. Условие знаменателя: x − 1 ≠ 0. Ответ: все действительные x, кроме 1.
10. Из условия 4x − 8 ≥ 0 получаем x ≥ 2. При x = 2 подкоренное выражение равно нулю, и эта граница допустима.
11. Корень требует x ≥ 3, знаменатель — x ≠ 3. Оставляем значения, которые удовлетворяют обоим условиям. Ответ: x ≥ 3, x ≠ 3, или x > 3.
12. Знаменатель с корнем требует 2x + 6 > 0. После решения получаем x > −3. При x = −3 знаменатель обращается в ноль.
Для регулярного повторения алгебры можно использовать план самостоятельной подготовки к ОГЭ и проверки прогресса. В него удобно включить отдельное занятие на неравенства и проверку граничных точек.