В задачах на равномерное движение по окружности период находят делением длины окружности на скорость, а скорость — делением длины на период. Ускорение при этом не равно нулю: направление скорости меняется.
Ниже — четыре разобранных примера и восемь задач для самостоятельной работы. Длины окружностей в условиях уже заданы там, где они нужны, поэтому округлять число π не придётся.
Какие величины связать в решении
Пусть L — длина окружности, T — период полного оборота, v — модуль линейной скорости, r — радиус, ω — угловая скорость в радианах в секунду. Для равномерного движения:
- T = L / v;
- v = L / T;
- v = ωr;
- a = v² / r = ω²r.
Первые соотношения связывают путь за оборот, время и скорость; связь линейной и угловой скоростей приведена в материале OpenStax о движении по окружности. Центростремительное ускорение направлено к центру, хотя модуль скорости постоянен: меняется направление вектора скорости. Его формулы даны в материале OpenStax о центростремительном ускорении.
В каждом решении сначала выпишите, что известно и что требуется найти. Затем выберите формулу, подставьте числа с единицами и проверьте, отвечает ли результат на вопрос целиком.
Период и скорость через полный оборот
1. Найти время одного оборота
Условие. В расчётной модели точка равномерно движется по окружности длиной 120 м со скоростью 6 м/с. Найдите период полного оборота.
Решение. За один оборот точка проходит всю длину окружности. Известны путь L и скорость v, поэтому выбираем T = L / v.
T = 120 / 6 = 20 с.
Ответ: 20 с. Единица тоже согласуется с расчётом: метры, делённые на метры в секунду, дают секунды.
2. Найти скорость по времени оборота
Условие. Точка равномерно проходит окружность длиной 120 м за 20 с. Найдите модуль линейной скорости.
Решение. Здесь известны длина пути за оборот и время. Используем v = L / T:
v = 120 / 20 = 6 м/с.
Ответ: 6 м/с. Чтобы проверить результат, умножьте его на 20 с: получится 120 м.
Ускорение через линейную и угловую скорость
3. Использовать квадрат линейной скорости
Условие. Точка равномерно движется по окружности радиусом 2 м с линейной скоростью 4 м/с. Найдите модуль центростремительного ускорения и его направление.
Решение. Даны v и r, поэтому удобно взять a = v² / r. Сначала возводим скорость в квадрат, затем делим на радиус:
a = 4² / 2 = 16 / 2 = 8 м/с².
Ускорение направлено к центру окружности.
Ответ: 8 м/с², к центру. В ответе нужны и числовое значение, и направление.
4. Перейти от угловой скорости к линейной
Условие. При равномерном движении по окружности угловая скорость 1 рад/с, радиус 2 м. Найдите модуль линейной скорости и центростремительного ускорения.
Решение. Обе искомые величины можно выразить непосредственно через данные ω и r:
v = ωr = 1 × 2 = 2 м/с;
a = ω²r = 1² × 2 = 2 м/с².
Ответ: 2 м/с и 2 м/с². Проверка через найденную линейную скорость даёт тот же результат: a = v² / r = 2² / 2 = 2 м/с².
Восемь задач для самостоятельного решения
В задачах на период и скорость запишите путь за полный оборот. В задачах на ускорение не забывайте возвести указанную скорость в квадрат.
5. Период по длине окружности
В расчётной модели точка равномерно движется по окружности длиной 180 м со скоростью 8 м/с. Найдите период полного оборота.
6. Скорость по времени
Точка равномерно проходит окружность длиной 220 м за 30 с. Найдите модуль линейной скорости.
7. Ускорение по радиусу и скорости
Точка равномерно движется по окружности радиусом 3 м с линейной скоростью 6 м/с. Найдите модуль центростремительного ускорения и его направление.
8. Две величины по угловой скорости
При равномерном движении по окружности угловая скорость 2 рад/с, радиус 3 м. Найдите модуль линейной скорости и центростремительного ускорения.
9. Время полного оборота
В расчётной модели точка равномерно движется по окружности длиной 240 м со скоростью 10 м/с. Найдите период полного оборота.
10. Путь за оборот и скорость
Точка равномерно проходит окружность длиной 320 м за 40 с. Найдите модуль линейной скорости.
11. Направление ускорения
Точка равномерно движется по окружности радиусом 4 м с линейной скоростью 8 м/с. Найдите модуль центростремительного ускорения и его направление.
12. Линейная скорость и ускорение
При равномерном движении по окружности угловая скорость 3 рад/с, радиус 4 м. Найдите модуль линейной скорости и центростремительного ускорения.
Ответы и вычисления
5. T = L / v = 180 / 8 = 22,5 с.
6. v = L / T = 220 / 30 = 22/3 м/с. Это точный ответ; если нужно десятичное приближение, v ≈ 7,33 м/с.
7. a = v² / r = 6² / 3 = 36 / 3 = 12 м/с², направление — к центру окружности.
8. v = ωr = 2 × 3 = 6 м/с; a = ω²r = 2² × 3 = 12 м/с².
9. T = L / v = 240 / 10 = 24 с.
10. v = L / T = 320 / 40 = 8 м/с.
11. a = v² / r = 8² / 4 = 64 / 4 = 16 м/с², направление — к центру окружности.
12. v = ωr = 3 × 4 = 12 м/с; a = ω²r = 3² × 4 = 36 м/с².
Как исправить частые ошибки
Если вместо периода получилось число с единицей м/с, проверьте порядок деления: длину нужно разделить на скорость, а не наоборот. Для скорости порядок другой: длину делят на время.
В формулах ускорения степень относится к скорости, а не к радиусу: при известной линейной скорости нужно вычислить v² / r. При известной угловой скорости используйте ω²r, причём ω в этих формулах выражена в рад/с.
Не записывайте ускорение равным нулю только потому, что точка движется с постоянным модулем скорости. И не ограничивайтесь числом, если условие просит указать направление.
Чтобы включить эту тему в более широкий план занятий, используйте маршрут подготовки к ОГЭ по физике с нуля.