Объём призмы равен площади её основания, умноженной на перпендикулярную высоту: V = S_осн · h. Если известны объём и одна из двух величин, вторую находят делением.
В четырёх разобранных примерах ниже нужно вычислить объём. В восьми самостоятельных задачах предстоит найти высоту или площадь основания; ответы с короткими расчётами расположены отдельно.
Как связаны площадь основания, высота и объём
Обозначим площадь основания через S_осн, перпендикулярную высоту — через h, объём — через V. Формула объёма призмы приведена в учебном материале Фоксфорда:
V = S_осн · h.
Отсюда для обратных задач получаем h = V/S_осн и S_осн = V/h. Высота — перпендикулярное расстояние между основаниями; произвольное боковое ребро не обязательно ей равно.
Во всех условиях площадь основания уже дана или требуется в ответе. Определять форму основания для этих расчётов не нужно. Площадь записана в см², высота — в см, объём — в см³.
Если нужно вспомнить, что означает объём и почему его выражают кубическими единицами, прочитайте статью «Объём: как объяснить ребёнку кубики и пространство».
Четыре расчёта объёма по основанию и высоте
Основание 17 см² и высота 6 см
Условие. Площадь основания призмы 17 см², перпендикулярная высота 6 см. Найдите объём.
Подставляем значения в формулу:
V = 17 · 6 = 102 см³.
Ответ: 102 см³.
Площадь умножена на высоту, поэтому результат записан в кубических сантиметрах. Дополнительное деление не требуется.
Основание 23 см² и высота 4 см
Условие. Площадь основания призмы 23 см², перпендикулярная высота 4 см. Найдите объём.
Вычисляем произведение:
V = 23 · 4 = 92 см³.
Ответ: 92 см³.
Для проверки умножения можно разделить результат на высоту: 92 : 4 = 23. Получилась заданная площадь основания.
Основание 31 см² и высота 5 см
Условие. Площадь основания призмы 31 см², перпендикулярная высота 5 см. Найдите объём.
Умножаем площадь на высоту:
V = 31 · 5 = 155 см³.
Ответ: 155 см³.
Проверка обратным действием: 155 : 5 = 31. Значение совпадает с площадью из условия.
Основание 19 см² и высота 8 см
Условие. Площадь основания призмы 19 см², перпендикулярная высота 8 см. Найдите объём.
Подставляем данные:
V = 19 · 8 = 152 см³.
Ответ: 152 см³.
Проверим произведение делением: 152 : 8 = 19. Так мы возвращаемся к известной площади основания.
Самостоятельно: найдите высоту по объёму
В задачах 1–4 известны объём и площадь основания. Найдите высоту призмы в сантиметрах.
- Площадь основания призмы 14 см², объём 126 см³. Найдите высоту.
- Площадь основания призмы 21 см², объём 147 см³. Найдите высоту.
- Площадь основания призмы 28 см², объём 168 см³. Найдите высоту.
- Площадь основания призмы 16 см², объём 176 см³. Найдите высоту.
Самостоятельно: найдите площадь основания по объёму
В задачах 5–8 известны объём и высота. Найдите площадь основания в квадратных сантиметрах.
- Высота призмы 5 см, объём 90 см³. Найдите площадь основания.
- Высота призмы 7 см, объём 182 см³. Найдите площадь основания.
- Высота призмы 4 см, объём 132 см³. Найдите площадь основания.
- Высота призмы 8 см, объём 216 см³. Найдите площадь основания.
Ответы: высота и площадь основания
- 9 см. h = 126/14 = 9 см. Проверка: 14 · 9 = 126 см³.
- 7 см. h = 147/21 = 7 см. Проверка: 21 · 7 = 147 см³.
- 6 см. h = 168/28 = 6 см. Проверка: 28 · 6 = 168 см³.
- 11 см. h = 176/16 = 11 см. Проверка: 16 · 11 = 176 см³.
- 18 см². S_осн = 90/5 = 18 см². Проверка: 18 · 5 = 90 см³.
- 26 см². S_осн = 182/7 = 26 см². Проверка: 26 · 7 = 182 см³.
- 33 см². S_осн = 132/4 = 33 см². Проверка: 33 · 4 = 132 см³.
- 27 см². S_осн = 216/8 = 27 см². Проверка: 27 · 8 = 216 см³.
Как исправить ошибку в обратном расчёте
Если требуется высота, делите объём на площадь основания, а не наоборот. Например, в первой задаче 126 : 14 = 9 см. Обратное деление не даст нужную длину.
Если требуется площадь основания, делите объём на высоту. В пятой задаче это 90 : 5 = 18 см². Запись 18 см означала бы длину, хотя вопрос относится к площади.
Проверка для обоих случаев одна: умножьте найденную величину на другую известную величину. Результат должен совпасть с объёмом из условия. При этом в формуле используется именно высота призмы, а не выбранное наугад боковое ребро.