В задаче на смесь следите за двумя массами: всей смеси и вещества, долю которого называют в условии. При соединении растворов складываются обе массы. При добавлении воды масса вещества остаётся прежней, а общая масса растёт. Это различие и определяет решение.
Например, в 200 г раствора с долей соли 10% содержится 20 г соли. Если добавить 50 г воды, соли останется 20 г, а раствора станет 250 г. Новая доля соли — 20 : 250 × 100% = 8%. Начинайте с такого подсчёта вещества, даже если в вопросе просят найти только процент.
Запишите, что составляет всю смесь
В задачах могут встречаться соль и вода, сок и вода, металл в сплаве. Названия разные, но запись одинакова: масса вещества = масса смеси × доля вещества : 100.
Пусть есть 300 г раствора, в котором 12% соли. Вся смесь весит 300 г. Соль весит 300 × 12 : 100 = 36 г. Остальные 300 − 36 = 264 г приходятся на воду. Проверка простая: 36 + 264 = 300 г.
Полезно держать рядом три вопроса:
- Сколько весит вся смесь сейчас?
- Сколько в ней нужного вещества?
- Что именно добавили, убрали или соединили?
Не переносите процент из начального состояния в итоговое без расчёта. Даже когда масса соли не меняется, её доля меняется вместе с общей массой раствора.
Если нужно освежить перевод килограммов в граммы, пригодится статья «Масса: как объяснить ребёнку граммы и килограммы». В одной записи задачи все массы должны быть выражены в одинаковых единицах.
Соедините две смеси
Смешали 200 г раствора с долей соли 10% и 300 г раствора с долей соли 20%. Найдём долю соли в новой смеси.
В первом растворе соли 200 × 10 : 100 = 20 г. Во втором — 300 × 20 : 100 = 60 г. После смешивания соли стало 20 + 60 = 80 г, а всего раствора — 200 + 300 = 500 г. Значит, доля соли равна 80 : 500 × 100% = 16%.
Проверим ответ по смыслу. Итоговая доля находится между 10% и 20%. Она ближе к 20%, потому что более крепкого раствора взяли больше: 300 г против 200 г. Такая оценка не заменяет вычисление, но сразу помогает заметить ответ вроде 30%.
Нельзя найти итоговую долю как (10% + 20%) : 2 = 15%: это сработало бы для равных масс растворов. Здесь массы разные, поэтому сначала считаем граммы соли в каждой части.
Для сплава ход решения тот же. Если в 100 г одного сплава 30 г меди, а в 200 г другого — 100 г меди, то после соединения получится 130 г меди в 300 г сплава. Доля меди составит 130 : 300 × 100% = 43⅓%. В ответе можно оставить точную дробь, если округление не задано.
Добавьте воду и найдите новую долю
В 240 г раствора содержится 15% соли. В него добавили 60 г воды. Какой стала доля соли?
Сначала найдём соль: 240 × 15 : 100 = 36 г. Воду добавили, соль не добавляли, поэтому её по-прежнему 36 г. Общая масса стала 240 + 60 = 300 г. Новая доля — 36 : 300 × 100% = 12%.
Здесь удобно записать два состояния:
| Состояние | Вся смесь | Соль |
|---|---|---|
| До добавления воды | 240 г | 36 г |
| После добавления воды | 300 г | 36 г |
По таблице видно, почему процент снизился: те же 36 г соли теперь приходятся на большую массу. Проверка обратным действием: 12% от 300 г — 36 г.
Если вместо воды добавляют чистую соль, меняются обе массы. Допустим, к 180 г раствора с долей соли 10% добавили 20 г соли. Сначала было 18 г соли. Теперь соли 18 + 20 = 38 г, всей смеси 180 + 20 = 200 г. Новая доля — 38 : 200 × 100% = 19%.
Найдите, сколько воды требуется добавить
В 150 г раствора содержится 30 г соли. Сколько воды нужно добавить, чтобы доля соли стала 10%?
После добавления воды соли всё ещё будет 30 г. Если 30 г должны составить 10% итоговой смеси, вся смесь должна весить 30 × 100 : 10 = 300 г. Уже есть 150 г раствора, поэтому добавить нужно 300 − 150 = 150 г воды.
Проверим: соли 30 г, смеси 300 г; 30 : 300 × 100% = 10%. Ответ относится именно к массе добавленной воды, а не к массе итогового раствора.
Такой способ удобнее попытки «уменьшить 20% до 10%» одним вычитанием. Исходная доля соли здесь равна 30 : 150 × 100% = 20%, но разность долей не показывает массу воды. Её надо найти через неизменные 30 г соли.
Разберите выпаривание
В 500 г раствора содержится 8% соли. Часть воды выпарили, и доля соли стала 10%. Сколько воды выпарили?
До выпаривания соли было 500 × 8 : 100 = 40 г. В этой задаче уходит только вода, поэтому после выпаривания соли остаётся 40 г. Теперь эти 40 г составляют 10% раствора. Итоговая масса равна 40 × 100 : 10 = 400 г. Значит, масса уменьшилась на 500 − 400 = 100 г: столько воды выпарили.
Проверка: 40 г соли в 400 г раствора дают 10%. Доля увеличилась, поскольку общая масса стала меньше. Ошибка здесь часто возникает в последнем действии: 400 г — это масса оставшегося раствора, а вопрос задан о массе ушедшей воды.
Для обратной ситуации, когда спрашивают, сколько раствора останется, последнего вычитания уже не требуется. Прежде чем записывать ответ, вернитесь к вопросу условия и проверьте единицы.
Как составить уравнение, если масса неизвестна
Есть 200 г раствора с долей соли 5%. К нему добавили другой раствор с долей соли 20%. После смешивания доля соли стала 10%. Сколько граммов второго раствора добавили?
В первых 200 г находится 200 × 5 : 100 = 10 г соли. Обозначим массу второго раствора через x г. Соли в нём 0,2x г. Общая масса после смешивания — 200 + x г, а соль составляет 10% этой массы.
Получаем равенство: 10 + 0,2x = 0,1(200 + x). Раскроем скобки: 10 + 0,2x = 20 + 0,1x. Тогда 0,1x = 10 и x = 100 г.
Проверка нужна и здесь: во втором растворе 20 г соли, всего соли 10 + 20 = 30 г. Общая масса — 200 + 100 = 300 г. Доля соли равна 30 : 300 × 100% = 10%.
Если ребёнку трудно составить равенство, подпишите под каждым выражением его смысл: слева — граммы соли из двух растворов, справа — граммы соли в готовой смеси. Равны именно массы одного и того же вещества.
Задачи для самостоятельной проверки
- Смешали 100 г раствора с долей сахара 10% и 300 г раствора с долей сахара 30%. Какова доля сахара в смеси?
- В 250 г раствора содержится 50 г соли. Добавили 150 г воды. Какой стала доля соли?
- В 400 г раствора доля соли равна 5%. Воду выпарили так, что доля соли стала 8%. Сколько граммов воды выпарили?
- В 120 г раствора содержится 12 г соли. Сколько граммов соли нужно добавить, чтобы её доля стала 20%?
Ответы с проверкой. В первой задаче сахара 10 г и 90 г, всего 100 г в 400 г смеси; ответ 25%. Во второй соли остаётся 50 г, общая масса становится 400 г; ответ 12,5%. В третьей соли 400 × 5 : 100 = 20 г. При доле 8% итоговая масса равна 20 × 100 : 8 = 250 г; выпарили 400 − 250 = 150 г воды. В четвёртой обозначим добавленную соль через x г: (12 + x) : (120 + x) = 0,2. Тогда 12 + x = 24 + 0,2x, откуда 0,8x = 12 и x = 15 г. Проверка: 27 г соли в 135 г смеси составляют 20%.
Частые вопросы
Нужно ли отдельно считать массу воды в каждом решении?
Не всегда. Если известны масса смеси и масса соли, для новой доли обычно достаточно следить за этими двумя величинами. Массу воды удобно выписывать, когда вопрос прямо задан о добавленной или удалённой воде.
Почему при добавлении соли нельзя оставить прежней массу раствора?
Добавленная соль становится частью смеси. Если к 180 г раствора добавить 20 г соли, итоговая масса равна 200 г. Прежнюю массу в знаменателе оставлять нельзя, даже если воды не прибавилось.
Можно ли ответить в килограммах, если условие записано в граммах?
Можно, если перевод выполнен верно и единица указана в ответе. Например, 250 г равны 0,25 кг. Для самого решения удобнее сначала привести все массы к одной единице, чтобы не смешать 0,25 и 250 в одном вычислении.