Если двое выполняют одно дело вместе, сначала найдите, какую часть всего дела каждый делает за один час. Сложите эти части: получится их общая производительность. Затем разделите всё дело на эту производительность и получите время.
Например, Аня выполняет работу за 6 часов, а Борис — за 3 часа. За час Аня делает 1/6 работы, Борис — 1/3. Вместе они делают 1/6 + 1/3 = 1/2 работы за час. Значит, на всю работу им нужно 1 : 1/2 = 2 часа. Ответ меньше времени каждого в отдельности — это первая проверка.
Что в условии называют работой
Работой может быть покраска забора, наполнение бака или изготовление деталей. Для решения важно понять, что считается одним целым делом. Если оба красят один и тот же забор, весь забор удобно принять за 1. Тогда половина забора — 1/2 работы, а четверть — 1/4.
Слово «производительность» означает объём работы за единицу времени. В этих задачах единицей обычно служит час или день. Если человек выполняет всё дело за 5 часов и работает с постоянной производительностью, за один час он выполняет 1/5 дела. За два часа — 2/5, за три — 3/5.
Запись «1/5 работы в час» помогает не перепутать две величины. Пять часов — это время. Одна пятая работы за час — производительность. Складывать часы двух работников нельзя: их время показывает, сколько каждому понадобилось бы в одиночку, а не сколько они уже сделали вместе.
Перед вычислением полезно сказать условие своими словами: «Оба выполняют одно целое дело. Известно время каждого по отдельности. Нужно найти время, за которое они выполнят это дело одновременно». Если такое описание не подходит, проверьте, действительно ли речь о совместной работе.
Шаг 1. Примите всё дело за единицу
Пусть один мастер собирает заказ за 4 часа, а другой — за 12 часов. Количество изделий в заказе неизвестно, но оно и не требуется: обозначим весь заказ числом 1.
Первый мастер за час соберёт 1/4 заказа. Второй — 1/12 заказа. Чтобы сложить доли, приведём их к одному знаменателю: 1/4 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3.
Общая производительность — 1/3 заказа в час. За три часа мастера выполнят 3 × 1/3 = 1 заказ. Ответ: 3 часа.
Можно проверить каждого отдельно. За 3 часа первый соберёт 3/4 заказа, второй — 3/12, то есть 1/4. Вместе получится 3/4 + 1/4 = 1. Такая проверка подтверждает не только ответ, но и то, что доли были сложены правильно.
Если ребёнку трудно представить дроби, нарисуйте прямоугольник из 12 одинаковых клеток. За час первый мастер заполняет 3 клетки, второй — 1. Вместе они заполняют 4 клетки из 12; за три часа — все 12. Рисунок нужен лишь для понимания долей: затем решение можно записать без него.
Шаг 2. Следите за единицами времени
Частая ошибка появляется, когда один исполнитель работает «за часы», а другой — «за минуты». Прежде чем складывать производительности, выберите общую единицу времени.
Допустим, первая труба наполняет бак за 2 часа, вторая — за 30 минут. Удобно перевести 2 часа в 120 минут. Тогда первая труба за минуту наполняет 1/120 бака, вторая — 1/30. Вместе за минуту они наполняют 1/120 + 1/30 = 1/120 + 4/120 = 5/120 = 1/24 бака. Полный бак наполнится за 24 минуты.
Можно считать и в часах. За час первая труба наполняет 1/2 бака, а вторая, которой нужно полчаса, — 2 бака. Общая производительность равна 2,5 бака в час. Время на один бак: 1 : 2,5 = 0,4 часа, то есть те же 24 минуты. Оба способа верны; для школьной записи обычно проще тот, в котором меньше десятичных дробей.
Проверка здесь особенно полезна: две трубы вместе должны наполнить бак быстрее, чем самая быстрая труба в одиночку. Ответ 24 минуты меньше 30 минут, значит, он правдоподобен. Но одной проверки на правдоподобие мало — вычисления тоже должны сходиться.
Шаг 3. Учитывайте, кто и сколько времени работал
Не в каждой задаче исполнители начинают одновременно. Если один работал раньше, разделите процесс на отрезки времени и посчитайте сделанное на каждом отрезке.
Первый мастер выполняет заказ за 6 часов, второй — за 9 часов. Первый начал один и проработал 2 часа, после чего к нему присоединился второй. Сколько времени они ещё будут работать вместе?
За первые 2 часа первый выполнил 2 × 1/6 = 1/3 заказа. Осталось 1 − 1/3 = 2/3. За час вместе мастера выполняют 1/6 + 1/9 = 3/18 + 2/18 = 5/18 заказа. Время совместной работы равно 2/3 : 5/18 = 2/3 × 18/5 = 12/5 часа. Это 2 часа 24 минуты.
Вопрос спрашивал, сколько мастера будут работать после встречи, поэтому ответ — 2 часа 24 минуты. От начала работы первого до завершения заказа пройдёт 4 часа 24 минуты. Эти два результата отвечают на разные вопросы; подчеркните в условии, какой именно задан.
Проверим выполненные доли. За 12/5 часа первый дополнительно сделает 12/5 × 1/6 = 2/5 заказа. Второй сделает 12/5 × 1/9 = 4/15. С учётом первых двух часов получим 1/3 + 2/5 + 4/15 = 5/15 + 6/15 + 4/15 = 1.
Когда работа делится на известное число предметов
Если в условии назван общий объём и скорости исполнителей, можно считать в предметах, не принимая всю работу за 1. Так иногда проще увидеть смысл ответа.
Например, два работника должны упаковать 90 коробок. Первый упаковывает 8 коробок в час, второй — 10. При одновременной работе они упаковывают 8 + 10 = 18 коробок в час. Время на весь заказ: 90 : 18 = 5 часов. Проверка: первый упакует 8 × 5 = 40 коробок, второй — 10 × 5 = 50; всего 90.
Если бы были известны только времена, за которые каждый упаковал бы все 90 коробок, сначала пришлось бы найти их производительности. В обоих вариантах ход мысли один: узнать работу за час, затем по ней найти время на нужный объём.
Связь с задачами на движение может помочь ребёнку вспомнить порядок действий: там находят общий путь по скорости и времени, здесь — сделанную работу по производительности и времени. Если знакомая аналогия нужна для объяснения, посмотрите материал «Скорость: как объяснить ребёнку путь и время».
Как исправить типичные ошибки
Сложили 6 и 3 часа и получили 9. Спросите: «За один час каждый какую часть дела сделает?» Это возвращает решение к величинам, которые действительно можно сложить. Для примера из начала статьи складываются 1/6 и 1/3 работы в час.
Сложили дроби, но назвали сумму временем. Сумма 1/6 + 1/3 = 1/2 показывает часть работы за час. Чтобы получить часы, нужно разделить 1 на 1/2. Подпись единицы возле каждого промежуточного результата помогает заметить пропущенное действие.
Получили время больше, чем у каждого по отдельности. При двух исполнителях, которые оба приближают завершение одного дела и начинают вместе, такой ответ указывает на ошибку. Найдите место, где перепутали время с производительностью или неверно сложили дроби.
Не отделили работу до подключения второго исполнителя. Нарисуйте короткую линию времени: сначала один, затем двое. Под ней запишите, какая доля выполнена на первом отрезке. Только остаток делите на общую производительность.
Если трудность возникает ещё при чтении любого условия, а не при действиях с дробями, пригодится статья «Как научить ребёнка решать задачи по математике в 3 классе»: она помогает выделять данные и вопрос задачи.
Попробуйте решить самостоятельно
Задача 1. Один мастер делает заказ за 8 часов, второй — за 24 часа. За сколько часов они выполнят заказ вместе?
За час первый делает 1/8 заказа, второй — 1/24. Вместе: 1/8 + 1/24 = 3/24 + 1/24 = 4/24 = 1/6 заказа. На весь заказ нужно 6 часов. Проверка: за 6 часов первый сделает 6/8 = 3/4, второй — 6/24 = 1/4; в сумме 1.
Задача 2. Два принтера печатают одинаковые страницы одного заказа. Первый печатает 15 страниц в минуту, второй — 10. Сколько минут им понадобится, чтобы вместе напечатать 200 страниц?
За минуту они печатают 15 + 10 = 25 страниц. Время: 200 : 25 = 8 минут. Первый напечатает 120 страниц, второй — 80; всего 200. Здесь дроби не нужны, поскольку производительность дана прямо.
Задача 3. Один работник выполняет заказ за 10 часов. Он работал один 4 часа, затем к нему присоединился второй, который выполнил бы весь заказ за 15 часов. Сколько часов им осталось работать вместе?
Первый сделал 4/10 = 2/5 заказа; осталось 3/5. Вместе за час они делают 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 1/6 заказа. Время на остаток: 3/5 : 1/6 = 18/5 часа, или 3 часа 36 минут. Проверка: за это время они выполнят 18/5 × 1/6 = 3/5 заказа — ровно столько, сколько осталось.
Решая следующие задачи, меняйте только одно условие за раз: время исполнителя, общий объём или момент подключения. Так легче понять, почему меняется ответ, и не превращать решение в угадывание формулы.
Частые вопросы
Почему всё дело обозначают числом 1?
Потому что для поиска времени часто не нужно знать количество предметов или размер участка. Число 1 означает весь конкретный заказ из условия. Если объём известен и скорости даны в предметах за час, можно считать сразу в предметах.
Можно ли складывать производительности трёх работников?
Да, если все трое одновременно выполняют одно дело и их производительность остаётся постоянной. Найдите работу каждого за час, сложите три доли и разделите весь объём на полученную сумму.
Что делать, если один исполнитель прекращает работу раньше?
Разбейте время на этапы. Для каждого этапа сложите производительности тех, кто работал именно тогда, и найдите выполненную долю. После этого рассчитайте остаток работы.
Как понять, хватает ли данных в условии?
Для обычной задачи нужно знать производительность каждого или сведения, по которым её можно найти, а также общий объём работы либо принять его за 1. Фраза «двое работали вместе и закончили заказ» без времени, объёма или производительности не даёт единственного ответа.