Чтобы сравнить обыкновенные дроби, сначала посмотрите, можно ли применить простое правило. При одинаковых знаменателях больше дробь с большим числителем. При одинаковых числителях больше дробь с меньшим знаменателем. Если ни то ни другое не подходит, приведите дроби к общему знаменателю.
Ниже — задачи для 5 класса с решениями. Их можно разбирать по одной: ребёнок сначала выбирает способ сравнения, затем ставит знак <, > или = и объясняет его. В задачах о долях одного предмета важно, чтобы исходные целые были одинакового размера.
1. Одинаковые знаменатели: кто взял больше долей
На двух одинаковых листах нарисовали фигуры равной площади. На первом закрасили 3/8 фигуры, на втором — 5/8. Где закрашено больше?
Каждую фигуру разделили на восемь равных частей. На втором листе взяли пять таких частей, а на первом три. Значит, 3/8 < 5/8. Здесь не нужно приводить дроби к новому знаменателю: размер одной доли уже одинаков.
Ещё одно сравнение для тренировки: 7/12 и 4/12. Знаменатель 12 общий, а 7 > 4, поэтому 7/12 > 4/12. В ответе достаточно назвать общий знаменатель и сравнить числители.
Ошибка выглядит так: «12 больше 7, поэтому 4/12 больше». Знаменатели в этой паре одинаковы и не помогают выбрать большую дробь. Они лишь показывают, что обе величины поделены на одинаковые доли.
2. Одинаковые числители: сравните размер доли
Два одинаковых пирога разделили поровну: первый на шесть частей, второй на десять. От первого взяли 3/6 пирога, от второго — 3/10. Какая доля пирога больше?
У первой дроби каждая часть крупнее: пирог поделён всего на шесть частей, а не на десять. Частей взяли поровну — по три. Поэтому 3/6 > 3/10.
Такое сравнение легко проверить без рисунка. Половина пирога — это 3/6. А 3/10 меньше половины, ведь половина второго пирога составила бы 5/10. Проверка не заменяет объяснение про размер долей, но помогает увидеть ответ.
Попробуйте сами: 5/9 или 5/11? Числители одинаковы. Девятые доли крупнее одиннадцатых, значит, 5/9 > 5/11.
3. Разные числители и знаменатели: найдите общие доли
На двух одинаковых отрезках отметили 2/3 и 3/4 длины. Какая отмеченная часть длиннее?
Третьи и четвёртые доли различаются по размеру, поэтому сравнивать только числители нельзя. Приведём дроби к двенадцатым: 2/3 = 8/12, а 3/4 = 9/12. Теперь знаменатель общий. Так как 8 < 9, получаем 2/3 < 3/4.
Почему выбран знаменатель 12? Он делится и на 3, и на 4. Можно взять и другое общее кратное, например 24: 2/3 = 16/24, 3/4 = 18/24. Результат не изменится, но вычислений станет больше. Поэтому удобнее искать небольшой общий знаменатель.
Ещё одна пара: 5/6 и 7/9. Общий знаменатель 18. Первая дробь равна 15/18, вторая — 14/18. Ответ: 5/6 > 7/9. Проверка решения — обе дроби действительно изменены равносильным способом: 5 и 6 умножены на 3, а 7 и 9 на 2.
4. Сравнение с единицей: выполнено ли задание целиком
Для одной поделки требуется 8 одинаковых бумажных полосок. У Маши подготовлено 7 полосок, у Пети — 8, у Лены — 9. Как сравнить подготовленную каждым долю набора с единицей?
Доля Маши — 7/8 набора: 7/8 < 1. Доля Пети — 8/8 = 1. Доля Лены — 9/8 > 1: она подготовила на одну полоску больше, чем требуется для одного набора. Здесь единица означает ровно восемь полосок.
Общее правило видно из примера. Если числитель меньше знаменателя, положительная дробь меньше единицы. Если равен знаменателю — равна единице. Если больше — больше единицы. Но в сюжетной задаче сначала назовите, что считается целым: без этого запись «больше одного набора» может быть непонятной.
5. Равные дроби: заметить сокращение
На одинаковых мерных полосках отмечены 2/4 и 3/6 длины. Какая отметка дальше от начала?
Сократим обе дроби: 2/4 = 1/2 и 3/6 = 1/2. Отметки находятся на одинаковом расстоянии; ответ: 2/4 = 3/6.
Можно проверить общим знаменателем 12: 2/4 = 6/12 и 3/6 = 6/12. Такой путь длиннее, зато показывает, почему равенство сохраняется. Обе записи называют одну и ту же половину целого.
Если после преобразования получились разные дроби, проверьте, одинаково ли изменены числитель и знаменатель каждой исходной дроби. Например, чтобы получить шестые из третьих, надо умножить оба числа дроби на 2.
6. Смешанные числа: сначала сравните целые части
В двух банках находится 1 2/5 л и 1 3/8 л напитка. В какой банке больше?
Целые части равны: по одному литру. Сравниваем дробные части. Приводим к знаменателю 40: 2/5 = 16/40, 3/8 = 15/40. Значит, 1 2/5 л > 1 3/8 л.
Если целые части различаются, дроби сравнивать уже не требуется. Например, 2 1/10 > 1 9/10, потому что первое число больше двух, а второе меньше двух. Это сокращает решение и помогает не утонуть в вычислениях.
В задаче с банками обе величины измерены в литрах. Если бы одна была дана в миллилитрах, сначала пришлось бы согласовать единицы, а уже затем сравнивать количества.
7. Разные целые: выясните, что именно сравнивают
Саша съел 1/2 маленькой плитки шоколада массой 80 г, а Дима — 1/3 большой плитки массой 150 г. Кто съел больше шоколада по массе?
Доли 1/2 и 1/3 относятся к плиткам разной массы. Сравнение дробей само по себе здесь не отвечает на вопрос. Масса доли Саши: 80 / 2 = 40 г. Масса доли Димы: 150 / 3 = 50 г. Дима съел на 10 г больше.
Это не противоречит тому, что 1/2 > 1/3. Половина одинакового целого больше трети такого же целого. Когда целые различны, задача может просить сравнить не доли, а реальные количества. Прочитайте, какая величина нужна в ответе, прежде чем ставить знак между дробями.
Задания без подсказки способа
Поставьте знак <, > или =. В последних двух заданиях дайте ответ словами.
А. 4/13 и 9/13.
Б. 6/7 и 6/11.
В. 3/5 и 5/8.
Г. 9/12 и 3/4.
Д. 11/10 и 1.
Е. На одинаковых маршрутах Аня прошла 5/8 пути, а Борис — 2/3. Кто прошёл большую долю маршрута?
Ж. Два кувшина, объёмом 1 л и 2 л, были полностью наполнены водой. Из первого вылили 3/4 содержимого, а из второго — 1/2 содержимого. Из какого кувшина вылили больше воды по объёму?
Ответы
А. 4/13 < 9/13: знаменатели одинаковы, 4 < 9.
Б. 6/7 > 6/11: по шесть долей, но седьмые крупнее одиннадцатых.
В. 3/5 < 5/8. Общий знаменатель 40: 3/5 = 24/40, 5/8 = 25/40.
Г. 9/12 = 3/4. Если сократить 9/12 на 3, получится 3/4.
Д. 11/10 > 1: числитель больше знаменателя.
Е. Борис прошёл большую долю. 5/8 = 15/24, а 2/3 = 16/24; 16/24 > 15/24. Маршруты одинаковы, поэтому можно также сказать, что Борис прошёл большее расстояние.
Ж. Из второго кувшина. Из первого вылили 3/4 л, из второго — 1 л. Половина двух литров больше трёх четвертей одного литра.
Если ребёнок уверенно ставит знаки, попросите его объяснить выбор одним предложением. Так становится видно, понял ли он способ или угадал ответ. Для возвращения к самим знакам сравнения подойдёт материал «Больше и меньше: как объяснить ребёнку сравнение чисел».
Частые вопросы
Всегда ли нужно находить наименьший общий знаменатель?
Нет. Подойдёт любой общий знаменатель, к которому удобно привести обе дроби. Наименьший обычно сокращает вычисления, но правильный ответ получится и с другим общим знаменателем.
Как сравнить дроби, если одна записана десятичной?
Приведите обе записи к одному виду. Например, 1/2 = 0,5, поэтому 1/2 > 0,4. Когда в задании есть ещё и действия с такими числами, полезна статья «Обыкновенные и десятичные дроби в одном выражении: порядок решения».
Как проверить знак сравнения после решения?
Оцените каждую дробь относительно знакомой величины: нуля, половины или единицы. Например, 7/8 больше половины, а 3/8 меньше половины, значит, знак между ними должен показывать, что 7/8 больше.
Что писать в ответе сюжетной задачи: знак или слова?
Если вопрос звучит «кто прошёл больше», назовите человека и кратко покажите сравнение дробей. Один знак без пояснения не показывает, к кому он относится.