Если два участника движутся навстречу друг другу, расстояние между ними уменьшается за счёт обоих. За час первый проезжает свою часть пути, второй — свою. Поэтому скорость сближения равна сумме их скоростей. Если они движутся в одну сторону и быстрый догоняет медленного, расстояние сокращается на разницу скоростей.
В задачах на скорость сближения сначала определяют, как меняется расстояние между участниками, а уже потом выбирают действие. Это помогает не путать встречу, погоню и удаление друг от друга. Разберём каждую ситуацию на числах и проверим ответы по смыслу.
Что означает «сближаются»
Представьте две точки на прямой дороге. Между ними 90 км. Из этих точек одновременно выехали навстречу друг другу велосипедисты со скоростями 20 и 25 км/ч. Через час первый сократит расстояние на 20 км, а второй — ещё на 25 км. Вместе они сократят его на 45 км.
Значит, скорость сближения — 20 + 25 = 45 км/ч. Чтобы узнать время до встречи, делим начальное расстояние на скорость сближения: 90 : 45 = 2 ч. Проверка: за два часа первый проедет 20 × 2 = 40 км, второй — 25 × 2 = 50 км. Вместе это ровно 90 км.
Слова «навстречу» подсказывают сложение только в этой задаче: участники выехали одновременно, двигались до встречи и их скорости не менялись. Если один отправился позже или сделал остановку, движение придётся разбирать по частям.
Если ребёнок пока путает скорость с расстоянием, сначала полезно разобрать связь между путём, временем и скоростью в статье «Скорость: как объяснить ребёнку путь и время».
Почему при погоне скорости вычитают
Теперь два самокатчика едут в одну сторону. Передний находится на 18 км впереди и движется со скоростью 12 км/ч. Задний едет со скоростью 15 км/ч. За час задний проходит 15 км, но передний за то же время успевает проехать 12 км. Расстояние между ними уменьшается лишь на 15 − 12 = 3 км.
Скорость сближения в этой задаче — 3 км/ч. Чтобы догнать переднего, потребуется 18 : 3 = 6 ч. Проверим от точки старта заднего: он пройдёт 15 × 6 = 90 км. Передний к своим первоначальным 18 км добавит 12 × 6 = 72 км и тоже окажется на отметке 90 км.
При движении в одну сторону важно выяснить, кто впереди и кто быстрее. Если впереди едет быстрый участник, расстояние растёт: никакой встречи при неизменных скоростях не будет.
Как понять, что ищут скорость удаления
Удаление — ситуация, в которой расстояние растёт. Например, два пешехода вышли одновременно из одной точки в противоположных направлениях. Один идёт со скоростью 4 км/ч, другой — 5 км/ч. Через час между ними будет 4 + 5 = 9 км, через два часа — 18 км. Скорость удаления равна 9 км/ч.
Сумма появляется и при движении навстречу, и при движении в противоположные стороны. Но вопрос меняет смысл ответа: в первом случае расстояние уменьшается до встречи, во втором — растёт после старта. Поэтому правило «увидел разные направления — сложи» ненадёжно. Нужно представить начальное положение и то, что происходит с промежутком между участниками.
Есть и другой случай удаления. Велосипедист едет впереди со скоростью 17 км/ч, а позади него в ту же сторону идёт турист со скоростью 5 км/ч. За час расстояние увеличится на 17 − 5 = 12 км. Направление у них одно, а скорости всё равно вычитаются.
Как выбрать действие без заучивания четырёх правил
Возьмите удобный промежуток — один час, если скорости даны в километрах в час. Спросите: «Насколько изменится расстояние между участниками за этот час?» Можно мысленно поставить их на прямую линию и передвинуть каждого на столько километров, сколько он проходит.
Если оба сокращают промежуток со своих сторон, изменения складываются. Если оба увеличивают его в разные стороны, тоже складываются. Когда участники движутся в одну сторону, один за час проходит больше другого; изменение промежутка равно разнице путей.
После этого различайте три величины:
- Начальное расстояние — сколько было между участниками до движения.
- Скорость сближения или удаления — на сколько меняется расстояние за единицу времени.
- Время — сколько длилось движение.
Например, расстояние между машинами сокращается на 30 км каждый час, а вначале оно было 120 км. Время до встречи равно 120 : 30 = 4 ч. Если те же машины уже разъезжаются, то через 4 часа расстояние увеличится на 30 × 4 = 120 км. Начальное расстояние при этом тоже нужно учесть, если оно не равно нулю.
Задача с разным временем старта
Из посёлка выехал велосипедист со скоростью 14 км/ч. Спустя 2 часа вслед за ним из того же посёлка выехал второй велосипедист со скоростью 18 км/ч. Сколько времени потребуется второму, чтобы догнать первого?
Первые два часа едет только первый. Он создаёт отрыв 14 × 2 = 28 км. После старта второго оба движутся одновременно в одну сторону. За каждый час второй сокращает отрыв на 18 − 14 = 4 км. Ему потребуется 28 : 4 = 7 ч после своего старта.
Проверка по общему времени: первый был в пути 2 + 7 = 9 ч и проехал 14 × 9 = 126 км. Второй ехал 7 ч и проехал 18 × 7 = 126 км. Ответ на вопрос задачи — 7 часов, а не 9: спрашивали именно о времени движения второго.
Такие условия удобно решать в два этапа: сначала найти расстояние к моменту, когда начали двигаться оба, затем использовать скорость сближения. Нельзя сразу делить путь первого за первые два часа на скорость второго: первый продолжает ехать и после старта преследователя.
Когда известен путь после начала движения
Из одного места одновременно вышли в противоположных направлениях два туриста. Их скорости — 3 и 4 км/ч. На каком расстоянии они будут через 2 часа 30 минут?
Приведём время к часам: 2 часа 30 минут — это 2,5 ч. Скорость удаления равна 3 + 4 = 7 км/ч. Расстояние через указанное время: 7 × 2,5 = 17,5 км.
Можно проверить другим способом. Первый пройдёт 3 × 2,5 = 7,5 км, второй — 4 × 2,5 = 10 км. Между ними окажется 7,5 + 10 = 17,5 км. Два способа дают один ответ, потому что в обоих учтён путь каждого туриста.
Если время записано в минутах, скорости тоже можно перевести в километры за минуту. Но в простой задаче обычно удобнее перевести минуты в долю часа: 15 минут — 0,25 ч, 30 минут — 0,5 ч, 45 минут — 0,75 ч.
Упражнения для самостоятельной проверки
1. Встреча. Между двумя деревнями 72 км. Одновременно навстречу друг другу выехали велосипедисты со скоростями 16 и 20 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
Скорость сближения: 16 + 20 = 36 км/ч. Время: 72 : 36 = 2 ч. Проверка: первый проедет 32 км, второй — 40 км; вместе 72 км. Ответ: через 2 часа.
2. Погоня. Пешеход находится на 6 км впереди велосипедиста. Они одновременно начинают движение в одном направлении со скоростями 4 и 10 км/ч соответственно. Через сколько времени велосипедист догонит пешехода?
Скорость сближения: 10 − 4 = 6 км/ч. Время: 6 : 6 = 1 ч. За час велосипедист проедет 10 км, а пешеход окажется в 6 + 4 = 10 км от начальной точки велосипедиста. Ответ: через 1 час.
3. Удаление при движении в одну сторону. Два бегуна одновременно стартовали из одной точки в одном направлении. Их скорости — 9 и 7 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?
Скорость удаления: 9 − 7 = 2 км/ч. За 3 часа расстояние вырастет до 2 × 3 = 6 км. Проверка: бегуны преодолеют 27 и 21 км, разница — 6 км. Ответ: 6 км.
4. Расстояние уже было. Два автомобиля находятся на расстоянии 15 км друг от друга и едут в противоположных направлениях, удаляясь. Их скорости — 40 и 50 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?
За час расстояние увеличивается на 40 + 50 = 90 км, за два — на 180 км. Добавляем начальные 15 км: 15 + 180 = 195 км. Ответ: 195 км.
Ошибки, которые меняют ответ
Самая частая ошибка — выбрать действие по одному слову из условия. «В разные стороны» может означать как движение навстречу друг другу из разных точек, так и удаление из одной точки. Нарисуйте в черновике две отметки и стрелки: даже короткая запись покажет, растёт промежуток или сокращается.
Вторая ошибка — забыть начальное расстояние. При удалении участников, которые уже находились в разных местах, произведение скорости удаления на время показывает только прибавку. Чтобы получить итоговое расстояние, прибавку добавляют к начальному промежутку.
Третья ошибка — смешать единицы или отсчитывать время не с того момента. Если один участник вышел позже, отдельно подпишите «до второго старта» и «после второго старта». В конце проверьте ответ подстановкой: вычислите положение каждого участника в найденный момент. Общий приём выделять известное, искомое и проверять вопрос разобран также в статье «Как научить ребёнка решать задачи по математике в 3 классе».
Частые вопросы
Что делать, если скорости даны в разных единицах?
Перед вычислением приведите их к одним единицам. Например, 60 м/мин и 3 км/ч нельзя сразу складывать: 3 км/ч — это 3000 м за 60 минут, то есть 50 м/мин. Теперь можно получить 60 + 50 = 110 м/мин, если участники движутся навстречу друг другу.
Можно ли найти время встречи, если известно только расстояние и скорость одного участника?
В обычной задаче о двух движущихся участниках данных недостаточно: скорость сближения зависит и от второго. Нужно знать его скорость либо другое условие, позволяющее её найти. Если второй стоит на месте, это должно быть сказано в условии.
Что означает ответ «0 часов» при погоне?
Если участники уже находятся в одной точке в момент начала отсчёта, догонять никого не нужно: встреча произошла сразу. Если между ними есть расстояние, а скорости равны, положительного времени встречи не получится — отрыв не меняется.