Чтобы найти вероятность простого события, сначала перечислите все равновозможные исходы, затем отметьте те, при которых событие происходит. Вероятность равна числу подходящих исходов, делённому на число всех исходов. Каждый исход при подсчёте должен появиться ровно один раз.
Допустим, в мешочке лежат четыре одинаковых на ощупь жетона: один красный и три синих. Не глядя достают один жетон. Возможны четыре исхода, если считать конкретные жетоны. Красный среди них один, поэтому вероятность достать красный жетон — 1/4. Слова «красный» и «синий» называют два цвета, но это не делает их одинаково вероятными: синих жетонов втрое больше.
Выберите, что считать отдельным исходом
Исход — это результат одного опыта, который мы решили различать. В задаче с жетонами удобно мысленно пометить одинаковые синие жетоны: синий первый, синий второй, синий третий. Эти пометки нужны только для подсчёта; на ощупь жетоны по условию не отличаются.
Для обычного игрального кубика отдельные исходы — выпавшие числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. В этой задаче считаем их равновозможными. Если событие звучит «выпадет число больше 4», подходят 5 и 6. Значит, вероятность равна 2/6, или 1/3.
Проверка начинается ещё до дроби. Ответьте на два вопроса: какие результаты возможны и одинаковы ли их шансы по условию? Если оба ответа ясны, можно считать. Если предметы заметно различаются на ощупь или способ выбора описан неясно, одних количеств для точного ответа может не хватить.
Составьте полный список без дублей
Рассмотрим вращающийся указатель с восемью одинаковыми секторами, пронумерованными от 1 до 8. Нужно найти вероятность того, что указатель остановится на чётном числе.
Все исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Подходящие: 2, 4, 6, 8. Их четыре из восьми, поэтому вероятность равна 4/8 = 1/2. Проверка: остальные числа — 1, 3, 5, 7; их тоже четыре. Вместе две группы дают все восемь секторов и не пересекаются.
Такой список удобен, когда исходов немного. При большем числе вариантов можно использовать таблицу, но её строки и столбцы должны задавать однозначный порядок. Например, при двух бросках кубика запись «первый бросок — 2, второй — 5» отличается от записи «первый — 5, второй — 2». Если порядок бросков важен в условии, это два разных исхода.
Событие может включать несколько признаков
В коробке лежат десять одинаковых карточек с числами от 1 до 10. Одну карточку достают наугад. Какова вероятность получить число, которое чётное или больше 7?
Чётные числа: 2, 4, 6, 8, 10. Числа больше 7: 8, 9, 10. Если просто сложить 5 + 3, числа 8 и 10 попадут в счёт дважды. Запишем подходящие карточки одним списком: 2, 4, 6, 8, 9, 10. Их шесть из десяти, вероятность равна 6/10 = 3/5.
Слово «или» здесь означает, что подходит карточка с любым из двух признаков, в том числе с обоими сразу. Если число одновременно чётное и больше 7, оно всё равно остаётся одной карточкой и одним исходом. Перечень конкретных чисел защищает от двойного подсчёта лучше, чем попытка сразу составить дробь.
Когда удобнее посчитать противоположное
Есть события, для которых неподходящих исходов гораздо меньше. На кубике событию «выпадет не 6» подходят пять чисел: 1, 2, 3, 4, 5. Можно сразу получить 5/6. А можно заметить, что число 6 появляется в одном исходе из шести: вероятность «не 6» равна 1 − 1/6 = 5/6.
Этот способ работает, когда два события вместе охватывают все исходы и не могут случиться одновременно. «Выпадет 6» и «не выпадет 6» отвечают этому условию. Проверка проста: 1/6 + 5/6 = 1.
Не стоит заменять противоположным событие с расплывчатым названием. Сначала точно сформулируйте, какие исходы в него входят. Тогда станет понятно, какие остаются снаружи.
Законченный пример: карточка для настольной игры
Для игры приготовили двенадцать одинаковых карточек. На них по одному разу написаны числа от 1 до 12. Игрок перемешивает карточки лицевой стороной вниз и берёт одну. Он получает дополнительный ход, если число делится на 3 или равно 10. Найдём вероятность дополнительного хода.
Всего есть двенадцать равновозможных исходов — по числу карточек. На 3 делятся числа 3, 6, 9, 12. Число 10 добавляем отдельно; оно не входит в первый список. Подходящих карточек пять: 3, 6, 9, 10, 12. Вероятность равна 5/12.
Проверим подсчёт через остальные карточки. Дополнительного хода не дают 1, 2, 4, 5, 7, 8, 11 — семь чисел. Пять подходящих и семь неподходящих составляют все двенадцать карточек. Ни одна не оказалась в двух группах. Для самой игры тоже всё определено: игрок берёт одну карточку, сравнивает число с правилом и либо получает дополнительный ход, либо продолжает обычный порядок ходов.
Задачи для тренировки
1. Жетоны. В непрозрачном мешочке три белых, два зелёных и один жёлтый одинаковый на ощупь жетон. Достают один. Какова вероятность, что он зелёный?
Всего жетонов 3 + 2 + 1 = 6. Зелёных два, поэтому вероятность равна 2/6 = 1/3. Считать три цвета как три равновозможных исхода нельзя: жетонов каждого цвета разное количество.
2. Кубик. Бросают обычный игральный кубик. Какова вероятность получить число меньше 5 и при этом чётное?
Все исходы — числа от 1 до 6. Условию отвечают 2 и 4: они меньше 5 и чётные. Вероятность равна 2/6 = 1/3. Число 6 чётное, но меньше 5 оно не является.
3. Карточки. На девяти одинаковых карточках написаны числа от 1 до 9, по одному числу на каждой. Достают одну карточку. Какова вероятность получить число, которое делится на 2 или на 3?
На 2 делятся 2, 4, 6, 8; на 3 — 3, 6, 9. Подходящие карточки: 2, 3, 4, 6, 8, 9. Число 6 записано один раз. Вероятность равна 6/9 = 2/3.
4. Секторы. Указатель вращается над десятью одинаковыми секторами с числами от 1 до 10. Какова вероятность остановиться на числе, не кратном 5?
Кратны 5 только 5 и 10. Остальные восемь чисел подходят. Вероятность равна 8/10 = 4/5. Проверка: два неподходящих и восемь подходящих исходов дают десять.
Если ребёнку трудно сокращать полученную дробь, сначала оставьте ответ в виде «подходящих из всех»: например, 6/9. Смысл задачи от этого не меняется. Порядок действий с дробями можно отдельно повторить в статье «Обыкновенные и десятичные дроби в одном выражении: порядок решения».
Как понять, что ответ разумный
Вероятность невозможного события равна 0, а события, которое происходит при любом исходе, — 1. Ответ между 0 и 1 помогает быстро обнаружить грубую ошибку. Если при подсчёте получилось 7 подходящих исходов из 6 возможных, какой-то результат повторён или неверно определено общее число исходов.
Полезно также сравнить дробь с описанием. Когда подходят почти все карточки, вероятность должна быть ближе к 1; когда подходит одна из многих — ближе к 0. Это не заменяет счёт, но подсказывает, где искать ошибку.
Частые вопросы
Всегда ли два разных результата имеют вероятность 1/2?
Нет. В мешочке с одним красным и тремя синими жетонами есть два названия цвета, но вероятность красного равна 1/4. Нужно считать равновозможные конкретные исходы, а не только названия групп.
Можно ли записать вероятность в процентах?
Да. Например, 1/4 равно 25%, потому что четверть от ста — 25. Если перевод не требуется, дробь часто удобнее: она сразу показывает число подходящих исходов и число всех исходов.
Что делать, если условие не говорит, одинаковы ли сектора?
Точный ответ по одному только их количеству получить нельзя: широкий сектор может занимать больше места. Для подсчёта равновозможных исходов нужно знать, что секторы одинаковы, или иметь данные об их размерах.
Почему при двух бросках порядок иногда важен?
Броски происходят один за другим. Результат «сначала 2, потом 5» отличается от «сначала 5, потом 2», хотя набор чисел одинаковый. Считать их одним исходом можно только тогда, когда способ группировки согласован с вопросом задачи и все полученные группы равновозможны.