Чтобы найти сопротивление цепи, сначала определите, как соединены резисторы: последовательно, параллельно или смешанным способом. Затем замените каждый подходящий блок его эквивалентным сопротивлением.
Сопротивление измеряют в омах (Ом). Оно характеризует элемент или блок; не путайте его с напряжением в вольтах и силой тока в амперах. Здесь рассматриваются идеальные резисторы: сопротивлением проводов пренебрегаем, внутренние сопротивления источников не учитываем.
Как выбрать формулу
При последовательном соединении без ответвлений сопротивления складываются: R = R₁ + R₂ + … .
При параллельном соединении каждый резистор подключён к одним и тем же двум узлам. Тогда 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … . Для двух резисторов удобна формула R = R₁R₂ / (R₁ + R₂). Эти правила приведены в учебнике OpenStax.
В смешанной цепи сначала найдите сопротивление описанного блока, затем соедините полученное значение с остальными элементами. Для проверки: эквивалентное сопротивление параллельного блока из положительных сопротивлений меньше каждого из них.
Четыре задачи с разбором
1. Последовательная цепь
В идеальной расчётной цепи резисторы 3, 6 и 9 Ом соединены последовательно, без ответвлений. Найдите общее сопротивление.
Решение. Ответвлений нет, поэтому выбираем сумму сопротивлений. Подставляем значения: R = 3 + 6 + 9 = 18 Ом.
Ответ: 18 Ом.
2. Две параллельные ветви
Два идеальных резистора 3 и 6 Ом подключены каждый непосредственно к одним и тем же двум узлам A и B, то есть параллельно. Других элементов между A и B нет. Найдите эквивалентное сопротивление.
Решение. Оба элемента находятся между одной парой узлов. Применяем формулу для двух параллельных сопротивлений:
R = 3 · 6 / (3 + 6) = 18 / 9 = 2 Ом.
Проверка: 2 Ом меньше и 3 Ом, и 6 Ом.
Ответ: 2 Ом.
3. Последовательное соединение с блоком
Резистор 9 Ом соединён последовательно с блоком из двух параллельных резисторов 3 и 6 Ом. Других ветвей нет. Найдите полное сопротивление этой идеальной модели.
Решение. Сначала сокращаем параллельный блок: R блока = 3 · 6 / (3 + 6) = 2 Ом. Теперь блок и резистор 9 Ом соединены последовательно: R = 9 + 2 = 11 Ом.
Ответ: 11 Ом.
4. Неизвестный резистор
Два резистора соединены параллельно между одними узлами. Один имеет сопротивление 4 Ом, эквивалентное сопротивление равно 3 Ом. Найдите второй резистор.
Решение. Обозначим неизвестное сопротивление R₂. Из формулы для параллельного соединения:
1/3 = 1/4 + 1/R₂.
Вычитаем известное слагаемое: 1/R₂ = 1/3 − 1/4 = 1/12. Значит, R₂ = 12 Ом. Проверка: 4 · 12 / (4 + 12) = 3 Ом.
Ответ: 12 Ом.
Задачи для самостоятельного решения
Для каждой задачи запишите формулу до подстановки чисел. В смешанном соединении отдельно обозначьте сопротивление блока.
5. В идеальной расчётной цепи резисторы 6, 12 и 12 Ом соединены последовательно, без ответвлений. Найдите общее сопротивление.
6. Два идеальных резистора 6 и 12 Ом подключены каждый непосредственно к одним и тем же двум узлам A и B, то есть параллельно. Других элементов между A и B нет. Найдите эквивалентное сопротивление.
7. Резистор 12 Ом соединён последовательно с блоком из двух параллельных резисторов 6 и 12 Ом. Других ветвей нет. Найдите полное сопротивление этой идеальной модели.
8. Два резистора соединены параллельно между одними узлами. Один имеет сопротивление 8 Ом, эквивалентное сопротивление равно 6 Ом. Найдите второй резистор.
9. В идеальной расчётной цепи резисторы 9, 18 и 15 Ом соединены последовательно, без ответвлений. Найдите общее сопротивление.
10. Два идеальных резистора 9 и 18 Ом подключены каждый непосредственно к одним и тем же двум узлам A и B, то есть параллельно. Других элементов между A и B нет. Найдите эквивалентное сопротивление.
11. Резистор 15 Ом соединён последовательно с блоком из двух параллельных резисторов 9 и 18 Ом. Других ветвей нет. Найдите полное сопротивление этой идеальной модели.
12. Два резистора соединены параллельно между одними узлами. Один имеет сопротивление 12 Ом, эквивалентное сопротивление равно 9 Ом. Найдите второй резистор.
Ответы и вычисления
5. R = 6 + 12 + 12 = 30 Ом.
6. R = 6 · 12 / (6 + 12) = 72 / 18 = 4 Ом.
7. R блока = 6 · 12 / (6 + 12) = 4 Ом. Полное сопротивление R = 12 + 4 = 16 Ом.
8. 1/R₂ = 1/6 − 1/8 = 4/24 − 3/24 = 1/24. Поэтому R₂ = 24 Ом.
9. R = 9 + 18 + 15 = 42 Ом.
10. R = 9 · 18 / (9 + 18) = 162 / 27 = 6 Ом.
11. R блока = 9 · 18 / (9 + 18) = 6 Ом. Полное сопротивление R = 15 + 6 = 21 Ом.
12. 1/R₂ = 1/9 − 1/12 = 4/36 − 3/36 = 1/36. Поэтому R₂ = 36 Ом.
Где искать ошибку
Если в параллельном блоке получилось сопротивление больше одного из составляющих, проверьте формулу: напрямую складывать можно последовательные сопротивления, а не параллельные. В обратной задаче после вычитания дробей найдено значение 1/R₂, поэтому его ещё нужно обратить.
Если обозначения в новом параграфе затрудняют работу, помогут приёмы самостоятельного чтения учебника для среднего звена: выпишите смысл каждой буквы и условия применения формулы до решения.