Чтобы найти время догоняния, разделите начальное отставание на разность скоростей: t = d/(v₁ − v₂). Здесь d — расстояние между участниками в момент начала движения, v₁ — скорость догоняющего, v₂ — скорость идущего впереди. Формула работает, когда v₁ больше v₂: отставание тогда уменьшается.
Оба участника начинают двигаться одновременно, в одном направлении, с постоянными скоростями и без остановок. Это задача о сокращении расстояния между ними, а не о встречном движении. Связь расстояния, скорости и времени используется и в открытом учебнике OpenStax; приведённые ниже условия и числа не взяты из него.
Как увидеть нужную разность
В начале первый участник впереди. За каждый час второй проходит больше, потому что движется быстрее. Но первый в тот же час тоже продвигается вперёд. Поэтому отставание уменьшается не на весь путь второго, а на разницу путей, которые они проходят за час.
Перед вычислением подпишите скорости словами: «догоняющий» и «впереди». Не ориентируйтесь только на порядок чисел в предложении: первым может быть назван как быстрый, так и медленный участник. В заданиях ниже впереди находится первый, а догоняет второй.
После деления проверьте единицы: километры, разделённые на километры в час, дают часы. Если ответ получился в часах, не нужно переводить его в минуты, пока задача этого не просит.
Три разобранных примера
Пример 1
Условие. Первый участник находится впереди второго на 5 км. Они одновременно начинают двигаться в одном направлении с постоянными скоростями 3 км/ч и 8 км/ч соответственно. Через сколько часов второй догонит первого?
Первый движется со скоростью 3 км/ч, второй — 8 км/ч. Значит, второй сокращает отставание со скоростью 8 − 3 = 5 км/ч. Начальное отставание тоже равно 5 км. Делим его на скорость сближения: 5/(8 − 3) = 1 ч.
Ответ: через 1 ч. Проверим не только разность, но и положения участников. За это время второй пройдёт 8 × 1 = 8 км. Первому от его начальной позиции нужно пройти ещё 3 × 1 = 3 км; от позиции второго до него получится 5 + 3 = 8 км. Пути до точки встречи совпали.
Пример 2
Условие. Первый участник находится впереди второго на 7,5 км. Они одновременно начинают двигаться в одном направлении с постоянными скоростями 4 км/ч и 9 км/ч соответственно. Через сколько часов второй догонит первого?
Второй быстрее на 9 − 4 = 5 км/ч. Он должен сократить отставание 7,5 км. Деление 7,5/5 = 1,5 показывает время в часах. Десятичная запятая здесь относится к расстоянию и времени; округлять ответ не требуется.
Ответ: через 1,5 ч. Проверка по полным путям: второй пройдёт 9 × 1,5 = 13,5 км. Первый за то же время пройдёт 4 × 1,5 = 6 км, но изначально был впереди на 7,5 км. От стартовой позиции второго до точки встречи это 7,5 + 6 = 13,5 км.
Пример 3
Условие. Первый участник находится впереди второго на 10 км. Они одновременно начинают двигаться в одном направлении с постоянными скоростями 5 км/ч и 10 км/ч соответственно. Через сколько часов второй догонит первого?
Разность скоростей равна 10 − 5 = 5 км/ч. Расстояние между участниками в начале — 10 км. Значит, время догоняния равно 10/(10 − 5) = 2 ч.
Ответ: через 2 ч. Проверка: второй пройдёт 10 × 2 = 20 км. Первый пройдёт 5 × 2 = 10 км. К этому пути прибавляем его начальное смещение от места старта второго: 10 + 10 = 20 км. Оба окажутся в одной точке; расстояние между ними к этому моменту сократится до нуля. При одинаковом результате можно остановить расчёт — оба оказались в одной точке.
Восемь задач для самостоятельного решения
В каждом условии первый участник находится впереди второго; скорости названы в том же порядке. Найдите время от одновременного старта до момента, когда второй догонит первого. Начните с разности скоростей. Ответы и проверка приведены отдельно после всех условий.
Задача 4
Первый участник находится впереди второго на 12,5 км. Они одновременно начинают двигаться в одном направлении с постоянными скоростями 6 км/ч и 11 км/ч соответственно. Через сколько часов второй догонит первого?
Задача 5
Первый участник находится впереди второго на 15 км. Они одновременно начинают двигаться в одном направлении с постоянными скоростями 7 км/ч и 12 км/ч соответственно. Через сколько часов второй догонит первого?
Задача 6
Первый участник находится впереди второго на 10 км. Они одновременно начинают двигаться в одном направлении с постоянными скоростями 3 км/ч и 13 км/ч соответственно. Через сколько часов второй догонит первого?
Задача 7
Первый участник находится впереди второго на 15 км. Они одновременно начинают двигаться в одном направлении с постоянными скоростями 4 км/ч и 14 км/ч соответственно. Через сколько часов второй догонит первого?
Задача 8
Первый участник находится впереди второго на 20 км. Они одновременно начинают двигаться в одном направлении с постоянными скоростями 5 км/ч и 15 км/ч соответственно. Через сколько часов второй догонит первого?
Задача 9
Первый участник находится впереди второго на 25 км. Они одновременно начинают двигаться в одном направлении с постоянными скоростями 6 км/ч и 16 км/ч соответственно. Через сколько часов второй догонит первого?
Задача 10
Первый участник находится впереди второго на 30 км. Они одновременно начинают двигаться в одном направлении с постоянными скоростями 7 км/ч и 17 км/ч соответственно. Через сколько часов второй догонит первого?
Задача 11
Первый участник находится впереди второго на 15 км. Они одновременно начинают двигаться в одном направлении с постоянными скоростями 3 км/ч и 18 км/ч соответственно. Через сколько часов второй догонит первого?
Ответы: проверяем момент догоняния
Время выражено в часах. Для проверки путь догоняющего должен равняться начальному отставанию плюс путь участника впереди.
- Через 2,5 ч. 12,5/(11−6)=2,5; проверка: 11×2,5=12,5+6×2,5.
- Через 3 ч. 15/(12−7)=3; проверка: 12×3=15+7×3.
- Через 1 ч. 10/(13−3)=1; проверка: 13×1=10+3×1.
- Через 1,5 ч. 15/(14−4)=1,5; проверка: 14×1,5=15+4×1,5.
- Через 2 ч. 20/(15−5)=2; проверка: 15×2=20+5×2.
- Через 2,5 ч. 25/(16−6)=2,5; проверка: 16×2,5=25+6×2,5.
- Через 3 ч. 30/(17−7)=3; проверка: 17×3=30+7×3.
- Через 1 ч. 15/(18−3)=1; проверка: 18×1=15+3×1.
Как исправить типичную ошибку
В задачах вдогонку нередко складывают скорости, как если бы участники двигались навстречу друг другу. Но здесь они идут в одном направлении. Быстрый участник за то же время проходит больше, а медленный не стоит на месте. Поэтому для сокращения расстояния нужна разность скоростей.
Если в решении появились сомнения, представьте один час движения: сколько километров пройдёт каждый и на сколько уменьшится разрыв? Это число должно совпасть с разностью скоростей. Затем проверьте найденное время равенством v₁t = d + v₂t. Левая часть — путь догоняющего от его старта, правая — начальное отставание и путь того, кто был впереди. Равенство означает, что они пришли в одну точку.
Если затруднение возникло ещё на шаге «путь за время», поможет статья «Скорость: как объяснить ребёнку путь и время». Для задач вдогонку достаточно уверенно пользоваться связью между этими тремя величинами.