Уравнение равномерного прямолинейного движения показывает, где находится тело в выбранный момент: x = x₀ + vₓt. Здесь x₀ — начальная координата, t — время от начала отсчёта, а vₓ — проекция скорости на выбранную ось. Если тело движется в положительном направлении оси, vₓ положительна; если в противоположном — отрицательна.
Для решения задачи сначала задайте ось и начало отсчёта времени, затем подставьте данные с согласованными единицами. Полученная координата может быть отрицательной: это положение относительно начала оси, а не «отрицательный путь». Равномерным прямолинейным называют движение с постоянным вектором скорости; на одной выбранной оси это означает постоянное vₓ. Такой вид уравнения приведён в материалах Фоксфорда о равномерном движении и следует из уравнений движения OpenStax при нулевом ускорении.
Сначала договоритесь об оси и времени
Представьте прямую дорожку с отмеченной точкой отсчёта. Направление вправо можно принять за положительное. Тогда точка справа от начала имеет положительную координату, слева — отрицательную. Можно выбрать и противоположное направление: важно придерживаться выбора до конца задачи.
Начальный момент обычно обозначают t = 0. Координата тела в этот момент — x₀. Начало оси и начальное положение тела не обязаны совпадать. Например, при x₀ = 12 м тело в начале наблюдения находится в точке с координатой 12 м, а не в нуле.
Время t в уравнении x = x₀ + vₓt считают от этого начального момента. Если задача начинается в момент t₀, отличный от нуля, удобнее записать x = x(t₀) + vₓ(t − t₀). Разность t − t₀ тогда означает длительность рассматриваемого движения. Так запись не приписывает телу лишнее время до начала условия.
Уравнение работает на том интервале, где скорость остаётся постоянной. Если тело развернулось, ускорилось или остановилось, для нового участка нужны новые условия. По одному уравнению равномерного движения нельзя описать произвольную поездку от начала до конца.
Прочитайте знак скорости до вычислений
Величина vₓ показывает, как меняется координата за единицу времени. При vₓ = 3 м/с координата каждую секунду увеличивается на 3 м. При vₓ = −3 м/с она каждую секунду уменьшается на 3 м. Число 3 в обоих случаях задаёт одинаковую быстроту движения, а знак показывает направление относительно оси.
Это различие помогает заранее оценить ответ. Если x₀ = 12 м и vₓ = −3 м/с, то через секунду координата должна быть меньше 12 м. Ответ 15 м при таких условиях сразу выдаёт ошибку со знаком. Если же положительное направление оси поменять на обратное, знаки координат и проекции скорости изменятся согласованно. Само движение от выбора оси не изменится.
Если пока трудно связать скорость с единицами измерения, полезно сначала разобрать, как путь зависит от времени и скорости. В координатной задаче к этому добавляется направление: поэтому здесь используют vₓ со знаком.
Найдите координату, перемещение и путь по одному уравнению
Пусть положение тела описано записью x = 12 − 3t, где x измеряется в метрах, а t — в секундах. Сравним её с общим видом x = x₀ + vₓt. Начальная координата x₀ = 12 м, проекция скорости vₓ = −3 м/с. Тело движется в сторону уменьшения координаты.
Через 5 с получаем x = 12 − 3 · 5 = −3 м. Это означает, что тело оказалось на 3 м по отрицательную сторону от начала оси. Чтобы найти изменение координаты, вычтем начальное значение: Δx = x − x₀ = −3 − 12 = −15 м. То же число даёт формула Δx = vₓt = −3 · 5.
Путь за эти 5 с равен 15 м: L = |vₓ|t = 3 · 5. На данном участке разворота нет, поэтому длина пройденного отрезка совпадает с модулем перемещения: L = |Δx|. Нельзя вместо пути записать −15 м. Минус у перемещения сообщает о направлении, а путь выражает длину.
Когда тело пересечёт начало оси? В этой точке x = 0, поэтому 12 − 3t = 0 и t = 4 с. В момент пересечения скорость по-прежнему равна −3 м/с. Нулевая координата говорит о месте, а не об остановке.
Запись задачи становится надёжнее, если перед каждым вычислением назвать искомую величину. Для координаты подставьте время в x(t). Для перемещения сравните конечную и начальную координаты. Для пути найдите длину пройденного отрезка. Одинаковые числа в некоторых ответах не делают эти понятия взаимозаменяемыми.
Составьте уравнение по двум положениям
Иногда готового уравнения нет, зато даны две координаты. В условной задаче тело при t = 0 находится в точке x₀ = 2 м, а через 6 с — в точке x = 26 м. Считаем, что движение на всём интервале равномерное и прямолинейное.
Сначала найдём изменение координаты: Δx = 26 − 2 = 24 м. За 6 с координата увеличилась на 24 м, значит, vₓ = Δx/t = 24/6 = 4 м/с. Подставляем начальную координату и скорость: x = 2 + 4t.
Проверка занимает одну строку: при t = 6 с уравнение даёт x = 2 + 4 · 6 = 26 м — ровно второе положение из условия. При t = 0 получается 2 м — первое положение. Обе проверки полезны: правильная разность координат ещё не гарантирует, что в итоговую запись попало верное x₀.
Если оба положения даны в моменты, отличные от нуля, скорость находят по изменению координаты за промежуток между ними: vₓ = (x₂ − x₁)/(t₂ − t₁). После этого можно взять любое известное положение как опорное и записать x = x₁ + vₓ(t − t₁). Не следует автоматически считать первую из названных координат значением при t = 0: момент нужно прочитать в условии.
Решите задачу о двух телах через общую координату
Пусть на одной оси и при общем начале отсчёта времени заданы два движения: x₁ = 3t и x₂ = 20 + t. Координаты измеряются в метрах, время — в секундах. Первое тело стартует из точки 0 м и движется со скоростью 3 м/с, второе — из точки 20 м со скоростью 1 м/с. Оба движутся в положительном направлении, но первое быстрее.
Встреча на прямой означает одинаковую координату в один и тот же момент. Приравниваем правые части: 3t = 20 + t. Тогда 2t = 20 и t = 10 с. Подставляем найденное время в любое уравнение: x₁ = 3 · 10 = 30 м; x₂ = 20 + 10 = 30 м. Совпадение двух значений проверяет вычисление.
Здесь нельзя приравнивать только пройденные пути: за 10 с первое тело прошло 30 м, а второе 10 м. Они встретились, потому что второе начинало на 20 м впереди. Именно начальные координаты учитывают это расстояние.
Если в похожей задаче равенство координат даёт t < 0, такой результат относится к моменту до выбранного начала отсчёта. При условии t ≥ 0 встречи в будущем на рассматриваемом участке нет. Называть отрицательное число «временем до встречи» было бы неверно.
Проверьте единицы и смысл ответа
Для записи x = x₀ + vₓt с координатами в метрах и временем в секундах скорость нужна в метрах в секунду. Произведение (м/с) · с даёт метры, поэтому его можно складывать с x₀. Если скорость дана в километрах в час, а время — в секундах, сначала переведите одну из величин. Соотношение 1 м/с = 3,6 км/ч помогает выполнить перевод, но внутри одного равенства единицы должны быть согласованы.
Короткая проверка на новом условии: x = −5 + 2t, где x — в метрах, t — в секундах. Через 3 с координата равна −5 + 2 · 3 = 1 м. Перемещение Δx = 1 − (−5) = 6 м, путь L = 6 м. Тело прошло через начало оси, но это не меняет знак его скорости и не добавляет к пути отдельный участок: всё время оно двигалось в одном направлении.
Если ответ вызывает сомнение, восстановите положение по секундам или хотя бы сравните начальную и конечную координаты. При положительном vₓ конечная координата должна быть больше начальной, при отрицательном — меньше. Затем отдельно проверьте, что путь неотрицателен, а подстановка найденного времени возвращает координату из условия. Эти проверки обнаруживают большинство ошибок со знаком и начальной точкой без нового способа решения.